Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20368 / 12144
↖ ↑ ↗
← N 81.154241°
W124.057617°		 ← 46.96 m → N 81.154241°
W124.054871°		 →
↑
46.95 m
↓
↑
46.95 m
↓
N 81.153819°
W124.057617°		 ← 46.96 m →
2 205 m²		 N 81.153819°
W124.054871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.155399322509766 y=0.0926551818847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.155399322509766 × 217)
    floor (0.155399322509766 × 131072)
    floor (20368.5)     		tx = 20368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0926551818847656 × 217)
    floor (0.0926551818847656 × 131072)
    floor (12144.5)     		ty = 12144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20368 / 12144 ti = "17/20368/12144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20368/12144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20368 ÷ 217
    20368 ÷ 131072     		x = 0.1553955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12144 ÷ 217
    12144 ÷ 131072     		y = 0.0926513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1553955078125 × 2 - 1) × π
    -0.689208984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.16521388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0926513671875 × 2 - 1) × π
    0.814697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.55944694451404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16521388} λ = -2.16521388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55944694451404))-π/2
    2×atan(12.9286650687883)-π/2
    2×1.49360251673038-π/2
    2.98720503346076-1.57079632675     		φ = 1.41640871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16521388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.057617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41640871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.154241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20368 KachelY 12144 -2.16521388 1.41640871 -124.057617 81.154241
    Oben rechts KachelX + 1 20369 KachelY 12144 -2.16516595 1.41640871 -124.054871 81.154241
    Unten links KachelX 20368 KachelY + 1 12145 -2.16521388 1.41640134 -124.057617 81.153819
    Unten rechts KachelX + 1 20369 KachelY + 1 12145 -2.16516595 1.41640134 -124.054871 81.153819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41640871-1.41640134) × R
    7.37000000006205e-06 × 6371000     		dl = 46.9542700003953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41640871-1.41640134) × R
    7.37000000006205e-06 × 6371000     		dr = 46.9542700003953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16521388--2.16516595) × cos(1.41640871) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153775028713779 × 6371000     		do = 46.9570549313767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16521388--2.16516595) × cos(1.41640134) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153782311049978 × 6371000     		du = 46.9592786803414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41640871)-sin(1.41640134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153775028713779-0.153782311049978)×R²
    abs(-2.16516595--2.16521388)×7.28233619828877e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.28233619828877e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.28233619828877e-06×40589641000000     		ar = 2204.88644291486m²