Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20367 / 28719
↖ ↑ ↗
← S 79.267916°
E 43.758545°		 ← 227.49 m → S 79.267916°
E 43.769531°		 →
↑
227.44 m
↓
↑
227.44 m
↓
S 79.269962°
E 43.758545°		 ← 227.45 m →
51 736 m²		 S 79.269962°
E 43.769531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621566772460938 y=0.876449584960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621566772460938 × 215)
    floor (0.621566772460938 × 32768)
    floor (20367.5)     		tx = 20367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876449584960938 × 215)
    floor (0.876449584960938 × 32768)
    floor (28719.5)     		ty = 28719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20367 / 28719 ti = "15/20367/28719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20367/28719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20367 ÷ 215
    20367 ÷ 32768     		x = 0.621551513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28719 ÷ 215
    28719 ÷ 32768     		y = 0.876434326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621551513671875 × 2 - 1) × π
    0.24310302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76373068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876434326171875 × 2 - 1) × π
    -0.75286865234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36520662725357
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76373068} λ = 0.76373068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36520662725357))-π/2
    2×atan(0.0939298898880054)-π/2
    2×0.0936551007751306-π/2
    0.187310201550261-1.57079632675     		φ = -1.38348613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76373068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.758545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38348613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.267916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20367 KachelY 28719 0.76373068 -1.38348613 43.758545 -79.267916
    Oben rechts KachelX + 1 20368 KachelY 28719 0.76392243 -1.38348613 43.769531 -79.267916
    Unten links KachelX 20367 KachelY + 1 28720 0.76373068 -1.38352183 43.758545 -79.269962
    Unten rechts KachelX + 1 20368 KachelY + 1 28720 0.76392243 -1.38352183 43.769531 -79.269962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38348613--1.38352183) × R
    3.56999999999719e-05 × 6371000     		dl = 227.444699999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38348613--1.38352183) × R
    3.56999999999719e-05 × 6371000     		dr = 227.444699999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76373068-0.76392243) × cos(-1.38348613) × R
    0.000191750000000046 × 0.186216816822021 × 6371000     		do = 227.489772439896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76373068-0.76392243) × cos(-1.38352183) × R
    0.000191750000000046 × 0.186181741143653 × 6371000     		du = 227.446922614481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38348613)-sin(-1.38352183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186216816822021-0.186181741143653)×R²
    abs(0.76392243-0.76373068)×3.50756783681627e-05×R²
    0.000191750000000046×3.50756783681627e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.50756783681627e-05×40589641000000     		ar = 51736.4700681015m²