Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20363 / 28731
↖ ↑ ↗
← S 79.292438°
E 43.714599°		 ← 226.98 m → S 79.292438°
E 43.725586°		 →
↑
226.94 m
↓
↑
226.94 m
↓
S 79.294479°
E 43.714599°		 ← 226.93 m →
51 504 m²		 S 79.294479°
E 43.725586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621444702148438 y=0.876815795898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621444702148438 × 215)
    floor (0.621444702148438 × 32768)
    floor (20363.5)     		tx = 20363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876815795898438 × 215)
    floor (0.876815795898438 × 32768)
    floor (28731.5)     		ty = 28731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20363 / 28731 ti = "15/20363/28731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20363/28731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20363 ÷ 215
    20363 ÷ 32768     		x = 0.621429443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28731 ÷ 215
    28731 ÷ 32768     		y = 0.876800537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621429443359375 × 2 - 1) × π
    0.24285888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76296369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876800537109375 × 2 - 1) × π
    -0.75360107421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36750759843533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76296369} λ = 0.76296369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36750759843533))-π/2
    2×atan(0.093714008382077)-π/2
    2×0.0934411029978803-π/2
    0.186882205995761-1.57079632675     		φ = -1.38391412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76296369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.714599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38391412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.292438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20363 KachelY 28731 0.76296369 -1.38391412 43.714599 -79.292438
    Oben rechts KachelX + 1 20364 KachelY 28731 0.76315544 -1.38391412 43.725586 -79.292438
    Unten links KachelX 20363 KachelY + 1 28732 0.76296369 -1.38394974 43.714599 -79.294479
    Unten rechts KachelX + 1 20364 KachelY + 1 28732 0.76315544 -1.38394974 43.725586 -79.294479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38391412--1.38394974) × R
    3.5620000000014e-05 × 6371000     		dl = 226.935020000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38391412--1.38394974) × R
    3.5620000000014e-05 × 6371000     		dr = 226.935020000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76296369-0.76315544) × cos(-1.38391412) × R
    0.000191750000000046 × 0.185796295891723 × 6371000     		do = 226.976047565998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76296369-0.76315544) × cos(-1.38394974) × R
    0.000191750000000046 × 0.185761295979177 × 6371000     		du = 226.933290299084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38391412)-sin(-1.38394974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185796295891723-0.185761295979177)×R²
    abs(0.76315544-0.76296369)×3.49999125469069e-05×R²
    0.000191750000000046×3.49999125469069e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.49999125469069e-05×40589641000000     		ar = 51503.9623390025m²