Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20362 / 28734
↖ ↑ ↗
← S 79.298560°
E 43.703613°		 ← 226.84 m → S 79.298560°
E 43.714599°		 →
↑
226.81 m
↓
↑
226.81 m
↓
S 79.300600°
E 43.703613°		 ← 226.79 m →
51 443 m²		 S 79.300600°
E 43.714599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621414184570312 y=0.876907348632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621414184570312 × 215)
    floor (0.621414184570312 × 32768)
    floor (20362.5)     		tx = 20362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876907348632812 × 215)
    floor (0.876907348632812 × 32768)
    floor (28734.5)     		ty = 28734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20362 / 28734 ti = "15/20362/28734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20362/28734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20362 ÷ 215
    20362 ÷ 32768     		x = 0.62139892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28734 ÷ 215
    28734 ÷ 32768     		y = 0.87689208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62139892578125 × 2 - 1) × π
    0.2427978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76277195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87689208984375 × 2 - 1) × π
    -0.7537841796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36808284123077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76277195} λ = 0.76277195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36808284123077))-π/2
    2×atan(0.0936601155761336)-π/2
    2×0.0933876791076226-π/2
    0.186775358215245-1.57079632675     		φ = -1.38402097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76277195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.703613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38402097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.298560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20362 KachelY 28734 0.76277195 -1.38402097 43.703613 -79.298560
    Oben rechts KachelX + 1 20363 KachelY 28734 0.76296369 -1.38402097 43.714599 -79.298560
    Unten links KachelX 20362 KachelY + 1 28735 0.76277195 -1.38405657 43.703613 -79.300600
    Unten rechts KachelX + 1 20363 KachelY + 1 28735 0.76296369 -1.38405657 43.714599 -79.300600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38402097--1.38405657) × R
    3.56000000001355e-05 × 6371000     		dl = 226.807600000863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38402097--1.38405657) × R
    3.56000000001355e-05 × 6371000     		dr = 226.807600000863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76277195-0.76296369) × cos(-1.38402097) × R
    0.000191739999999996 × 0.185691305273135 × 6371000     		do = 226.83595651233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76277195-0.76296369) × cos(-1.38405657) × R
    0.000191739999999996 × 0.18565632430601 × 6371000     		du = 226.793224618524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38402097)-sin(-1.38405657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185691305273135-0.18565632430601)×R²
    abs(0.76296369-0.76277195)×3.49809671258972e-05×R²
    0.000191739999999996×3.49809671258972e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.49809671258972e-05×40589641000000     		ar = 51443.2729366286m²