Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20361 / 5065
↖ ↑ ↗
← N 76.977674°
E 43.692627°		 ← 275.27 m → N 76.977674°
E 43.703613°		 →
↑
275.29 m
↓
↑
275.29 m
↓
N 76.975198°
E 43.692627°		 ← 275.32 m →
75 787 m²		 N 76.975198°
E 43.703613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621383666992188 y=0.154586791992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621383666992188 × 215)
    floor (0.621383666992188 × 32768)
    floor (20361.5)     		tx = 20361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154586791992188 × 215)
    floor (0.154586791992188 × 32768)
    floor (5065.5)     		ty = 5065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20361 / 5065 ti = "15/20361/5065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20361/5065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20361 ÷ 215
    20361 ÷ 32768     		x = 0.621368408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5065 ÷ 215
    5065 ÷ 32768     		y = 0.154571533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621368408203125 × 2 - 1) × π
    0.24273681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76258020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154571533203125 × 2 - 1) × π
    0.69085693359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17039106719766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76258020} λ = 0.76258020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17039106719766))-π/2
    2×atan(8.76170978814204)-π/2
    2×1.45715509276632-π/2
    2.91431018553264-1.57079632675     		φ = 1.34351386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76258020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.692627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34351386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.977674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20361 KachelY 5065 0.76258020 1.34351386 43.692627 76.977674
    Oben rechts KachelX + 1 20362 KachelY 5065 0.76277195 1.34351386 43.703613 76.977674
    Unten links KachelX 20361 KachelY + 1 5066 0.76258020 1.34347065 43.692627 76.975198
    Unten rechts KachelX + 1 20362 KachelY + 1 5066 0.76277195 1.34347065 43.703613 76.975198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34351386-1.34347065) × R
    4.32100000000712e-05 × 6371000     		dl = 275.290910000454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34351386-1.34347065) × R
    4.32100000000712e-05 × 6371000     		dr = 275.290910000454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76258020-0.76277195) × cos(1.34351386) × R
    0.000191749999999935 × 0.225330714227836 × 6371000     		do = 275.272844731165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76258020-0.76277195) × cos(1.34347065) × R
    0.000191749999999935 × 0.225372812757181 × 6371000     		du = 275.32427394698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34351386)-sin(1.34347065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225330714227836-0.225372812757181)×R²
    abs(0.76277195-0.76258020)×4.20985293450582e-05×R²
    0.000191749999999935×4.20985293450582e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.20985293450582e-05×40589641000000     		ar = 75787.1909346515m²