Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20360 / 5032
↖ ↑ ↗
← N 77.059116°
E 43.681641°		 ← 273.58 m → N 77.059116°
E 43.692627°		 →
↑
273.57 m
↓
↑
273.57 m
↓
N 77.056656°
E 43.681641°		 ← 273.63 m →
74 851 m²		 N 77.056656°
E 43.692627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621353149414062 y=0.153579711914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621353149414062 × 215)
    floor (0.621353149414062 × 32768)
    floor (20360.5)     		tx = 20360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153579711914062 × 215)
    floor (0.153579711914062 × 32768)
    floor (5032.5)     		ty = 5032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20360 / 5032 ti = "15/20360/5032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20360/5032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20360 ÷ 215
    20360 ÷ 32768     		x = 0.621337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5032 ÷ 215
    5032 ÷ 32768     		y = 0.153564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621337890625 × 2 - 1) × π
    0.24267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76238845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153564453125 × 2 - 1) × π
    0.69287109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17671873794751
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76238845} λ = 0.76238845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17671873794751))-π/2
    2×atan(8.81732678032188)-π/2
    2×1.45786580880343-π/2
    2.91573161760686-1.57079632675     		φ = 1.34493529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76238845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.681641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34493529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.059116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20360 KachelY 5032 0.76238845 1.34493529 43.681641 77.059116
    Oben rechts KachelX + 1 20361 KachelY 5032 0.76258020 1.34493529 43.692627 77.059116
    Unten links KachelX 20360 KachelY + 1 5033 0.76238845 1.34489235 43.681641 77.056656
    Unten rechts KachelX + 1 20361 KachelY + 1 5033 0.76258020 1.34489235 43.692627 77.056656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34493529-1.34489235) × R
    4.29399999999358e-05 × 6371000     		dl = 273.570739999591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34493529-1.34489235) × R
    4.29399999999358e-05 × 6371000     		dr = 273.570739999591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76238845-0.76258020) × cos(1.34493529) × R
    0.000191750000000046 × 0.22394561291789 × 6371000     		do = 273.580750605867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76238845-0.76258020) × cos(1.34489235) × R
    0.000191750000000046 × 0.223987462105965 × 6371000     		du = 273.6318752166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34493529)-sin(1.34489235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22394561291789-0.223987462105965)×R²
    abs(0.76258020-0.76238845)×4.18491880753158e-05×R²
    0.000191750000000046×4.18491880753158e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.18491880753158e-05×40589641000000     		ar = 74850.6815029607m²