Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20360 / 5016
↖ ↑ ↗
← N 77.098422°
E 43.681641°		 ← 272.76 m → N 77.098422°
E 43.692627°		 →
↑
272.81 m
↓
↑
272.81 m
↓
N 77.095969°
E 43.681641°		 ← 272.81 m →
74 419 m²		 N 77.095969°
E 43.692627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621353149414062 y=0.153091430664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621353149414062 × 215)
    floor (0.621353149414062 × 32768)
    floor (20360.5)     		tx = 20360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153091430664062 × 215)
    floor (0.153091430664062 × 32768)
    floor (5016.5)     		ty = 5016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20360 / 5016 ti = "15/20360/5016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20360/5016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20360 ÷ 215
    20360 ÷ 32768     		x = 0.621337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5016 ÷ 215
    5016 ÷ 32768     		y = 0.153076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621337890625 × 2 - 1) × π
    0.24267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76238845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153076171875 × 2 - 1) × π
    0.69384765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17978669952319
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76238845} λ = 0.76238845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17978669952319))-π/2
    2×atan(8.84441953860422)-π/2
    2×1.45820882397282-π/2
    2.91641764794565-1.57079632675     		φ = 1.34562132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76238845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.681641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34562132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.098422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20360 KachelY 5016 0.76238845 1.34562132 43.681641 77.098422
    Oben rechts KachelX + 1 20361 KachelY 5016 0.76258020 1.34562132 43.692627 77.098422
    Unten links KachelX 20360 KachelY + 1 5017 0.76238845 1.34557850 43.681641 77.095969
    Unten rechts KachelX + 1 20361 KachelY + 1 5017 0.76258020 1.34557850 43.692627 77.095969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34562132-1.34557850) × R
    4.2819999999999e-05 × 6371000     		dl = 272.806219999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34562132-1.34557850) × R
    4.2819999999999e-05 × 6371000     		dr = 272.806219999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76238845-0.76258020) × cos(1.34562132) × R
    0.000191750000000046 × 0.223276954306655 × 6371000     		do = 272.763891001532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76238845-0.76258020) × cos(1.34557850) × R
    0.000191750000000046 × 0.223318693113061 × 6371000     		du = 272.814880765685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34562132)-sin(1.34557850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223276954306655-0.223318693113061)×R²
    abs(0.76258020-0.76238845)×4.1738806405317e-05×R²
    0.000191750000000046×4.1738806405317e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.1738806405317e-05×40589641000000     		ar = 74418.6412305487m²