Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2036 / 1924
↖ ↑ ↗
← N 79.671438°
W135.263672°		 ← 438.05 m → N 79.671438°
W135.241699°		 →
↑
438.13 m
↓
↑
438.13 m
↓
N 79.667498°
W135.263672°		 ← 438.22 m →
191 961 m²		 N 79.667498°
W135.241699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124298095703125 y=0.117462158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124298095703125 × 214)
    floor (0.124298095703125 × 16384)
    floor (2036.5)     		tx = 2036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117462158203125 × 214)
    floor (0.117462158203125 × 16384)
    floor (1924.5)     		ty = 1924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2036 / 1924 ti = "14/2036/1924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2036/1924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2036 ÷ 214
    2036 ÷ 16384     		x = 0.124267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1924 ÷ 214
    1924 ÷ 16384     		y = 0.117431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124267578125 × 2 - 1) × π
    -0.75146484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.36079643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117431640625 × 2 - 1) × π
    0.76513671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4037478945481
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36079643} λ = -2.36079643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4037478945481))-π/2
    2×atan(11.0645675998128)-π/2
    2×1.48066261892491-π/2
    2.96132523784983-1.57079632675     		φ = 1.39052891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36079643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39052891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.671438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2036 KachelY 1924 -2.36079643 1.39052891 -135.263672 79.671438
    Oben rechts KachelX + 1 2037 KachelY 1924 -2.36041294 1.39052891 -135.241699 79.671438
    Unten links KachelX 2036 KachelY + 1 1925 -2.36079643 1.39046014 -135.263672 79.667498
    Unten rechts KachelX + 1 2037 KachelY + 1 1925 -2.36041294 1.39046014 -135.241699 79.667498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39052891-1.39046014) × R
    6.87699999999403e-05 × 6371000     		dl = 438.133669999619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39052891-1.39046014) × R
    6.87699999999403e-05 × 6371000     		dr = 438.133669999619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36079643--2.36041294) × cos(1.39052891) × R
    0.000383490000000375 × 0.179292663348335 × 6371000     		do = 438.050486831571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36079643--2.36041294) × cos(1.39046014) × R
    0.000383490000000375 × 0.179360318560251 × 6371000     		du = 438.215783045944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39052891)-sin(1.39046014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179292663348335-0.179360318560251)×R²
    abs(-2.36041294--2.36079643)×6.76552119157903e-05×R²
    0.000383490000000375×6.76552119157903e-05×6371000²
    0.000383490000000375×6.76552119157903e-05×40589641000000     		ar = 191960.878435996m²