Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20357 / 5070
↖ ↑ ↗
← N 76.965290°
E 43.648682°		 ← 275.53 m → N 76.965290°
E 43.659668°		 →
↑
275.55 m
↓
↑
275.55 m
↓
N 76.962812°
E 43.648682°		 ← 275.58 m →
75 928 m²		 N 76.962812°
E 43.659668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621261596679688 y=0.154739379882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621261596679688 × 215)
    floor (0.621261596679688 × 32768)
    floor (20357.5)     		tx = 20357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154739379882812 × 215)
    floor (0.154739379882812 × 32768)
    floor (5070.5)     		ty = 5070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20357 / 5070 ti = "15/20357/5070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20357/5070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20357 ÷ 215
    20357 ÷ 32768     		x = 0.621246337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5070 ÷ 215
    5070 ÷ 32768     		y = 0.15472412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621246337890625 × 2 - 1) × π
    0.24249267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76181321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15472412109375 × 2 - 1) × π
    0.6905517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16943232920526
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76181321} λ = 0.76181321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16943232920526))-π/2
    2×atan(8.75331362959098)-π/2
    2×1.45704702574444-π/2
    2.91409405148887-1.57079632675     		φ = 1.34329772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76181321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.648682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34329772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.965290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20357 KachelY 5070 0.76181321 1.34329772 43.648682 76.965290
    Oben rechts KachelX + 1 20358 KachelY 5070 0.76200496 1.34329772 43.659668 76.965290
    Unten links KachelX 20357 KachelY + 1 5071 0.76181321 1.34325447 43.648682 76.962812
    Unten rechts KachelX + 1 20358 KachelY + 1 5071 0.76200496 1.34325447 43.659668 76.962812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34329772-1.34325447) × R
    4.32500000000502e-05 × 6371000     		dl = 275.54575000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34329772-1.34325447) × R
    4.32500000000502e-05 × 6371000     		dr = 275.54575000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76181321-0.76200496) × cos(1.34329772) × R
    0.000191749999999935 × 0.225541290346856 × 6371000     		do = 275.530092783272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76181321-0.76200496) × cos(1.34325447) × R
    0.000191749999999935 × 0.225583425739519 × 6371000     		du = 275.581567032764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34329772)-sin(1.34325447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225541290346856-0.225583425739519)×R²
    abs(0.76200496-0.76181321)×4.21353926636503e-05×R²
    0.000191749999999935×4.21353926636503e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.21353926636503e-05×40589641000000     		ar = 75928.2378308211m²