Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20356 / 5060
↖ ↑ ↗
← N 76.990046°
E 43.637695°		 ← 275.02 m → N 76.990046°
E 43.648682°		 →
↑
275.04 m
↓
↑
275.04 m
↓
N 76.987572°
E 43.637695°		 ← 275.07 m →
75 646 m²		 N 76.987572°
E 43.648682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621231079101562 y=0.154434204101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621231079101562 × 215)
    floor (0.621231079101562 × 32768)
    floor (20356.5)     		tx = 20356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154434204101562 × 215)
    floor (0.154434204101562 × 32768)
    floor (5060.5)     		ty = 5060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20356 / 5060 ti = "15/20356/5060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20356/5060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20356 ÷ 215
    20356 ÷ 32768     		x = 0.6212158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5060 ÷ 215
    5060 ÷ 32768     		y = 0.1544189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6212158203125 × 2 - 1) × π
    0.242431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76162146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1544189453125 × 2 - 1) × π
    0.691162109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17134980519006
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76162146} λ = 0.76162146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17134980519006))-π/2
    2×atan(8.77011400026931)-π/2
    2×1.45726305889193-π/2
    2.91452611778387-1.57079632675     		φ = 1.34372979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76162146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.637695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34372979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.990046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20356 KachelY 5060 0.76162146 1.34372979 43.637695 76.990046
    Oben rechts KachelX + 1 20357 KachelY 5060 0.76181321 1.34372979 43.648682 76.990046
    Unten links KachelX 20356 KachelY + 1 5061 0.76162146 1.34368662 43.637695 76.987572
    Unten rechts KachelX + 1 20357 KachelY + 1 5061 0.76181321 1.34368662 43.648682 76.987572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34372979-1.34368662) × R
    4.31700000000923e-05 × 6371000     		dl = 275.036070000588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34372979-1.34368662) × R
    4.31700000000923e-05 × 6371000     		dr = 275.036070000588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76162146-0.76181321) × cos(1.34372979) × R
    0.000191750000000046 × 0.225120332191662 × 6371000     		do = 275.015833778439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76162146-0.76181321) × cos(1.34368662) × R
    0.000191750000000046 × 0.225162393849784 × 6371000     		du = 275.067217950921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34372979)-sin(1.34368662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225120332191662-0.225162393849784)×R²
    abs(0.76181321-0.76162146)×4.20616581213451e-05×R²
    0.000191750000000046×4.20616581213451e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.20616581213451e-05×40589641000000     		ar = 75646.3403726998m²