Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20355 / 4895
↖ ↑ ↗
← N 77.391902°
E 43.626709°		 ← 266.66 m → N 77.391902°
E 43.637695°		 →
↑
266.69 m
↓
↑
266.69 m
↓
N 77.389504°
E 43.626709°		 ← 266.71 m →
71 122 m²		 N 77.389504°
E 43.637695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621200561523438 y=0.149398803710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621200561523438 × 215)
    floor (0.621200561523438 × 32768)
    floor (20355.5)     		tx = 20355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149398803710938 × 215)
    floor (0.149398803710938 × 32768)
    floor (4895.5)     		ty = 4895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20355 / 4895 ti = "15/20355/4895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20355/4895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20355 ÷ 215
    20355 ÷ 32768     		x = 0.621185302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4895 ÷ 215
    4895 ÷ 32768     		y = 0.149383544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621185302734375 × 2 - 1) × π
    0.24237060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76142971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149383544921875 × 2 - 1) × π
    0.70123291015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2029881589393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76142971} λ = 0.76142971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2029881589393))-π/2
    2×atan(9.05202200695958)-π/2
    2×1.46076991848319-π/2
    2.92153983696638-1.57079632675     		φ = 1.35074351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76142971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.626709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35074351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.391902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20355 KachelY 4895 0.76142971 1.35074351 43.626709 77.391902
    Oben rechts KachelX + 1 20356 KachelY 4895 0.76162146 1.35074351 43.637695 77.391902
    Unten links KachelX 20355 KachelY + 1 4896 0.76142971 1.35070165 43.626709 77.389504
    Unten rechts KachelX + 1 20356 KachelY + 1 4896 0.76162146 1.35070165 43.637695 77.389504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35074351-1.35070165) × R
    4.18600000000602e-05 × 6371000     		dl = 266.690060000383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35074351-1.35070165) × R
    4.18600000000602e-05 × 6371000     		dr = 266.690060000383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76142971-0.76162146) × cos(1.35074351) × R
    0.000191749999999935 × 0.218281166551879 × 6371000     		do = 266.660840595472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76142971-0.76162146) × cos(1.35070165) × R
    0.000191749999999935 × 0.21832201694531 × 6371000     		du = 266.710745039465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35074351)-sin(1.35070165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218281166551879-0.21832201694531)×R²
    abs(0.76162146-0.76142971)×4.08503934312132e-05×R²
    0.000191749999999935×4.08503934312132e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.08503934312132e-05×40589641000000     		ar = 71122.4500984818m²