Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20353 / 12141
↖ ↑ ↗
← N 81.155508°
W124.098816°		 ← 46.96 m → N 81.155508°
W124.096069°		 →
↑
46.95 m
↓
↑
46.95 m
↓
N 81.155086°
W124.098816°		 ← 46.96 m →
2 205 m²		 N 81.155086°
W124.096069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.155284881591797 y=0.0926322937011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.155284881591797 × 217)
    floor (0.155284881591797 × 131072)
    floor (20353.5)     		tx = 20353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0926322937011719 × 217)
    floor (0.0926322937011719 × 131072)
    floor (12141.5)     		ty = 12141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20353 / 12141 ti = "17/20353/12141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20353/12141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20353 ÷ 217
    20353 ÷ 131072     		x = 0.155281066894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12141 ÷ 217
    12141 ÷ 131072     		y = 0.0926284790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.155281066894531 × 2 - 1) × π
    -0.689437866210938 × 3.1415926535     		Λ = -2.16593294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0926284790039062 × 2 - 1) × π
    0.814743041992188 × 3.1415926535     		Φ = 2.5595907552129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16593294} λ = -2.16593294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5595907552129))-π/2
    2×atan(12.9305244828458)-π/2
    2×1.49361357319221-π/2
    2.98722714638442-1.57079632675     		φ = 1.41643082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16593294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.098816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41643082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.155508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20353 KachelY 12141 -2.16593294 1.41643082 -124.098816 81.155508
    Oben rechts KachelX + 1 20354 KachelY 12141 -2.16588500 1.41643082 -124.096069 81.155508
    Unten links KachelX 20353 KachelY + 1 12142 -2.16593294 1.41642345 -124.098816 81.155086
    Unten rechts KachelX + 1 20354 KachelY + 1 12142 -2.16588500 1.41642345 -124.096069 81.155086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41643082-1.41642345) × R
    7.37000000006205e-06 × 6371000     		dl = 46.9542700003953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41643082-1.41642345) × R
    7.37000000006205e-06 × 6371000     		dr = 46.9542700003953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16593294--2.16588500) × cos(1.41643082) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153753181655071 × 6371000     		do = 46.9601792843236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16593294--2.16588500) × cos(1.41642345) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153760464016326 × 6371000     		du = 46.9624035048988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41643082)-sin(1.41642345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153753181655071-0.153760464016326)×R²
    abs(-2.16588500--2.16593294)×7.28236125482895e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.28236125482895e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.28236125482895e-06×40589641000000     		ar = 2205.03315564364m²