Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20352 / 4876
↖ ↑ ↗
← N 77.437385°
E 43.593750°		 ← 265.71 m → N 77.437385°
E 43.604736°		 →
↑
265.73 m
↓
↑
265.73 m
↓
N 77.434996°
E 43.593750°		 ← 265.76 m →
70 616 m²		 N 77.434996°
E 43.604736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621109008789062 y=0.148818969726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621109008789062 × 215)
    floor (0.621109008789062 × 32768)
    floor (20352.5)     		tx = 20352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148818969726562 × 215)
    floor (0.148818969726562 × 32768)
    floor (4876.5)     		ty = 4876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20352 / 4876 ti = "15/20352/4876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20352/4876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20352 ÷ 215
    20352 ÷ 32768     		x = 0.62109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4876 ÷ 215
    4876 ÷ 32768     		y = 0.1488037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62109375 × 2 - 1) × π
    0.2421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76085447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1488037109375 × 2 - 1) × π
    0.702392578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20663136331042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76085447} λ = 0.76085447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20663136331042))-π/2
    2×atan(9.08506051958648)-π/2
    2×1.46116683388608-π/2
    2.92233366777217-1.57079632675     		φ = 1.35153734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76085447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35153734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.437385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20352 KachelY 4876 0.76085447 1.35153734 43.593750 77.437385
    Oben rechts KachelX + 1 20353 KachelY 4876 0.76104622 1.35153734 43.604736 77.437385
    Unten links KachelX 20352 KachelY + 1 4877 0.76085447 1.35149563 43.593750 77.434996
    Unten rechts KachelX + 1 20353 KachelY + 1 4877 0.76104622 1.35149563 43.604736 77.434996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35153734-1.35149563) × R
    4.17099999998616e-05 × 6371000     		dl = 265.734409999118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35153734-1.35149563) × R
    4.17099999998616e-05 × 6371000     		dr = 265.734409999118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76085447-0.76104622) × cos(1.35153734) × R
    0.000191750000000046 × 0.217506410335267 × 6371000     		do = 265.714367992231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76085447-0.76104622) × cos(1.35149563) × R
    0.000191750000000046 × 0.217547121562457 × 6371000     		du = 265.764102425283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35153734)-sin(1.35149563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217506410335267-0.217547121562457)×R²
    abs(0.76104622-0.76085447)×4.07112271901544e-05×R²
    0.000191750000000046×4.07112271901544e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.07112271901544e-05×40589641000000     		ar = 70616.0588916304m²