Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20352 / 12160
↖ ↑ ↗
← N 81.147481°
W124.101562°		 ← 46.99 m → N 81.147481°
W124.098816°		 →
↑
47.02 m
↓
↑
47.02 m
↓
N 81.147058°
W124.101562°		 ← 46.99 m →
2 210 m²		 N 81.147058°
W124.098816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.155277252197266 y=0.0927772521972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.155277252197266 × 217)
    floor (0.155277252197266 × 131072)
    floor (20352.5)     		tx = 20352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0927772521972656 × 217)
    floor (0.0927772521972656 × 131072)
    floor (12160.5)     		ty = 12160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20352 / 12160 ti = "17/20352/12160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20352/12160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20352 ÷ 217
    20352 ÷ 131072     		x = 0.1552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12160 ÷ 217
    12160 ÷ 131072     		y = 0.0927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1552734375 × 2 - 1) × π
    -0.689453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.16598087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0927734375 × 2 - 1) × π
    0.814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55867995412012
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16598087} λ = -2.16598087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55867995412012))-π/2
    2×atan(12.9187527087027)-π/2
    2×1.4935435223922-π/2
    2.9870870447844-1.57079632675     		φ = 1.41629072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16598087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.101562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41629072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.147481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20352 KachelY 12160 -2.16598087 1.41629072 -124.101562 81.147481
    Oben rechts KachelX + 1 20353 KachelY 12160 -2.16593294 1.41629072 -124.098816 81.147481
    Unten links KachelX 20352 KachelY + 1 12161 -2.16598087 1.41628334 -124.101562 81.147058
    Unten rechts KachelX + 1 20353 KachelY + 1 12161 -2.16593294 1.41628334 -124.098816 81.147058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41629072-1.41628334) × R
    7.38000000000127e-06 × 6371000     		dl = 47.0179800000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41629072-1.41628334) × R
    7.38000000000127e-06 × 6371000     		dr = 47.0179800000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16598087--2.16593294) × cos(1.41629072) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153891614256514 × 6371000     		do = 46.9926557293748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16598087--2.16593294) × cos(1.41628334) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153898906339804 × 6371000     		du = 46.9948824547311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41629072)-sin(1.41628334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153891614256514-0.153898906339804)×R²
    abs(-2.16593294--2.16598087)×7.29208328970055e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.29208328970055e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.29208328970055e-06×40589641000000     		ar = 2209.55209548284m²