Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20350 / 12146
↖ ↑ ↗
← N 81.153396°
W124.107056°		 ← 46.97 m → N 81.153396°
W124.104309°		 →
↑
46.95 m
↓
↑
46.95 m
↓
N 81.152974°
W124.107056°		 ← 46.97 m →
2 206 m²		 N 81.152974°
W124.104309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.155261993408203 y=0.0926704406738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.155261993408203 × 217)
    floor (0.155261993408203 × 131072)
    floor (20350.5)     		tx = 20350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0926704406738281 × 217)
    floor (0.0926704406738281 × 131072)
    floor (12146.5)     		ty = 12146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20350 / 12146 ti = "17/20350/12146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20350/12146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20350 ÷ 217
    20350 ÷ 131072     		x = 0.155258178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12146 ÷ 217
    12146 ÷ 131072     		y = 0.0926666259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.155258178710938 × 2 - 1) × π
    -0.689483642578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.16607675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0926666259765625 × 2 - 1) × π
    0.814666748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.5593510707148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16607675} λ = -2.16607675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5593510707148))-π/2
    2×atan(12.9274256079659)-π/2
    2×1.49359514488293-π/2
    2.98719028976587-1.57079632675     		φ = 1.41639396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16607675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.107056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41639396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.153396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20350 KachelY 12146 -2.16607675 1.41639396 -124.107056 81.153396
    Oben rechts KachelX + 1 20351 KachelY 12146 -2.16602881 1.41639396 -124.104309 81.153396
    Unten links KachelX 20350 KachelY + 1 12147 -2.16607675 1.41638659 -124.107056 81.152974
    Unten rechts KachelX + 1 20351 KachelY + 1 12147 -2.16602881 1.41638659 -124.104309 81.152974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41639396-1.41638659) × R
    7.37000000006205e-06 × 6371000     		dl = 46.9542700003953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41639396-1.41638659) × R
    7.37000000006205e-06 × 6371000     		dr = 46.9542700003953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16607675--2.16602881) × cos(1.41639396) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.153789603258859 × 6371000     		do = 46.9713033800478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16607675--2.16602881) × cos(1.41638659) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.15379688557834 × 6371000     		du = 46.9735275878641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41639396)-sin(1.41638659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153789603258859-0.15379688557834)×R²
    abs(-2.16602881--2.16607675)×7.28231948060598e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.28231948060598e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.28231948060598e-06×40589641000000     		ar = 2205.55547933943m²