Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2035 / 1923
↖ ↑ ↗
← N 79.675377°
W135.285645°		 ← 437.90 m → N 79.675377°
W135.263672°		 →
↑
438.01 m
↓
↑
438.01 m
↓
N 79.671438°
W135.285645°		 ← 438.06 m →
191 838 m²		 N 79.671438°
W135.263672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124237060546875 y=0.117401123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124237060546875 × 214)
    floor (0.124237060546875 × 16384)
    floor (2035.5)     		tx = 2035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117401123046875 × 214)
    floor (0.117401123046875 × 16384)
    floor (1923.5)     		ty = 1923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2035 / 1923 ti = "14/2035/1923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2035/1923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2035 ÷ 214
    2035 ÷ 16384     		x = 0.12420654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1923 ÷ 214
    1923 ÷ 16384     		y = 0.11737060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12420654296875 × 2 - 1) × π
    -0.7515869140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.36117993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11737060546875 × 2 - 1) × π
    0.7652587890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.40413138974506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36117993} λ = -2.36117993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40413138974506))-π/2
    2×atan(11.0688116220728)-π/2
    2×1.48069699137787-π/2
    2.96139398275573-1.57079632675     		φ = 1.39059766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36117993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.285645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39059766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.675377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2035 KachelY 1923 -2.36117993 1.39059766 -135.285645 79.675377
    Oben rechts KachelX + 1 2036 KachelY 1923 -2.36079643 1.39059766 -135.263672 79.675377
    Unten links KachelX 2035 KachelY + 1 1924 -2.36117993 1.39052891 -135.285645 79.671438
    Unten rechts KachelX + 1 2036 KachelY + 1 1924 -2.36079643 1.39052891 -135.263672 79.671438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39059766-1.39052891) × R
    6.87500000000618e-05 × 6371000     		dl = 438.006250000394m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39059766-1.39052891) × R
    6.87500000000618e-05 × 6371000     		dr = 438.006250000394m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36117993--2.36079643) × cos(1.39059766) × R
    0.00038349999999987 × 0.17922502696465 × 6371000     		do = 437.896655044501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36117993--2.36079643) × cos(1.39052891) × R
    0.00038349999999987 × 0.179292663348335 × 6371000     		du = 438.061909566576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39059766)-sin(1.39052891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17922502696465-0.179292663348335)×R²
    abs(-2.36079643--2.36117993)×6.76363836848437e-05×R²
    0.00038349999999987×6.76363836848437e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.76363836848437e-05×40589641000000     		ar = 191837.663095817m²