Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20349 / 12145
↖ ↑ ↗
← N 81.153819°
W124.109802°		 ← 46.96 m → N 81.153819°
W124.107056°		 →
↑
47.02 m
↓
↑
47.02 m
↓
N 81.153396°
W124.109802°		 ← 46.96 m →
2 208 m²		 N 81.153396°
W124.107056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.155254364013672 y=0.0926628112792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.155254364013672 × 217)
    floor (0.155254364013672 × 131072)
    floor (20349.5)     		tx = 20349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0926628112792969 × 217)
    floor (0.0926628112792969 × 131072)
    floor (12145.5)     		ty = 12145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20349 / 12145 ti = "17/20349/12145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20349/12145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20349 ÷ 217
    20349 ÷ 131072     		x = 0.155250549316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12145 ÷ 217
    12145 ÷ 131072     		y = 0.0926589965820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.155250549316406 × 2 - 1) × π
    -0.689498901367188 × 3.1415926535     		Λ = -2.16612468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0926589965820312 × 2 - 1) × π
    0.814682006835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.55939900761442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16612468} λ = -2.16612468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55939900761442))-π/2
    2×atan(12.9280453235231)-π/2
    2×1.49359883089395-π/2
    2.9871976617879-1.57079632675     		φ = 1.41640134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16612468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.109802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41640134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.153819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20349 KachelY 12145 -2.16612468 1.41640134 -124.109802 81.153819
    Oben rechts KachelX + 1 20350 KachelY 12145 -2.16607675 1.41640134 -124.107056 81.153819
    Unten links KachelX 20349 KachelY + 1 12146 -2.16612468 1.41639396 -124.109802 81.153396
    Unten rechts KachelX + 1 20350 KachelY + 1 12146 -2.16607675 1.41639396 -124.107056 81.153396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41640134-1.41639396) × R
    7.38000000000127e-06 × 6371000     		dl = 47.0179800000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41640134-1.41639396) × R
    7.38000000000127e-06 × 6371000     		dr = 47.0179800000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16612468--2.16607675) × cos(1.41640134) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.153782311049978 × 6371000     		do = 46.9592786799063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16612468--2.16607675) × cos(1.41639396) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.153789603258859 × 6371000     		du = 46.9615054436135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41640134)-sin(1.41639396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153782311049978-0.153789603258859)×R²
    abs(-2.16607675--2.16612468)×7.29220888143201e-06×R²
    4.79299999995852e-05×7.29220888143201e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×7.29220888143201e-06×40589641000000     		ar = 2207.98277475386m²