Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20348 / 5090
↖ ↑ ↗
← N 76.915640°
E 43.549805°		 ← 276.56 m → N 76.915640°
E 43.560791°		 →
↑
276.63 m
↓
↑
276.63 m
↓
N 76.913153°
E 43.549805°		 ← 276.61 m →
76 512 m²		 N 76.913153°
E 43.560791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620986938476562 y=0.155349731445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620986938476562 × 215)
    floor (0.620986938476562 × 32768)
    floor (20348.5)     		tx = 20348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155349731445312 × 215)
    floor (0.155349731445312 × 32768)
    floor (5090.5)     		ty = 5090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20348 / 5090 ti = "15/20348/5090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20348/5090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20348 ÷ 215
    20348 ÷ 32768     		x = 0.6209716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5090 ÷ 215
    5090 ÷ 32768     		y = 0.15533447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6209716796875 × 2 - 1) × π
    0.241943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76008748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15533447265625 × 2 - 1) × π
    0.6893310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16559737723566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76008748} λ = 0.76008748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16559737723566))-π/2
    2×atan(8.71980937690837)-π/2
    2×1.45661374690846-π/2
    2.91322749381692-1.57079632675     		φ = 1.34243117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76008748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.549805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34243117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.915640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20348 KachelY 5090 0.76008748 1.34243117 43.549805 76.915640
    Oben rechts KachelX + 1 20349 KachelY 5090 0.76027923 1.34243117 43.560791 76.915640
    Unten links KachelX 20348 KachelY + 1 5091 0.76008748 1.34238775 43.549805 76.913153
    Unten rechts KachelX + 1 20349 KachelY + 1 5091 0.76027923 1.34238775 43.560791 76.913153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34243117-1.34238775) × R
    4.34199999999052e-05 × 6371000     		dl = 276.628819999396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34243117-1.34238775) × R
    4.34199999999052e-05 × 6371000     		dr = 276.628819999396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76008748-0.76027923) × cos(1.34243117) × R
    0.000191749999999935 × 0.226385427695245 × 6371000     		do = 276.561324100454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76008748-0.76027923) × cos(1.34238775) × R
    0.000191749999999935 × 0.226427720203157 × 6371000     		du = 276.612990288101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34243117)-sin(1.34238775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226385427695245-0.226427720203157)×R²
    abs(0.76027923-0.76008748)×4.22925079120173e-05×R²
    0.000191749999999935×4.22925079120173e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.22925079120173e-05×40589641000000     		ar = 76511.9789336287m²