Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20347 / 4878
↖ ↑ ↗
← N 77.432605°
E 43.538818°		 ← 265.81 m → N 77.432605°
E 43.549805°		 →
↑
265.80 m
↓
↑
265.80 m
↓
N 77.430215°
E 43.538818°		 ← 265.86 m →
70 659 m²		 N 77.430215°
E 43.549805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620956420898438 y=0.148880004882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620956420898438 × 215)
    floor (0.620956420898438 × 32768)
    floor (20347.5)     		tx = 20347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148880004882812 × 215)
    floor (0.148880004882812 × 32768)
    floor (4878.5)     		ty = 4878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20347 / 4878 ti = "15/20347/4878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20347/4878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20347 ÷ 215
    20347 ÷ 32768     		x = 0.620941162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4878 ÷ 215
    4878 ÷ 32768     		y = 0.14886474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620941162109375 × 2 - 1) × π
    0.24188232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.75989573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14886474609375 × 2 - 1) × π
    0.7022705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20624786811346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75989573} λ = 0.75989573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20624786811346))-π/2
    2×atan(9.08157711049115)-π/2
    2×1.46112511974788-π/2
    2.92225023949575-1.57079632675     		φ = 1.35145391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75989573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.538818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35145391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.432605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20347 KachelY 4878 0.75989573 1.35145391 43.538818 77.432605
    Oben rechts KachelX + 1 20348 KachelY 4878 0.76008748 1.35145391 43.549805 77.432605
    Unten links KachelX 20347 KachelY + 1 4879 0.75989573 1.35141219 43.538818 77.430215
    Unten rechts KachelX + 1 20348 KachelY + 1 4879 0.76008748 1.35141219 43.549805 77.430215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35145391-1.35141219) × R
    4.17200000000228e-05 × 6371000     		dl = 265.798120000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35145391-1.35141219) × R
    4.17200000000228e-05 × 6371000     		dr = 265.798120000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75989573-0.76008748) × cos(1.35145391) × R
    0.000191750000000046 × 0.217587842171583 × 6371000     		do = 265.813848319674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75989573-0.76008748) × cos(1.35141219) × R
    0.000191750000000046 × 0.217628562401984 × 6371000     		du = 265.863593751402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35145391)-sin(1.35141219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217587842171583-0.217628562401984)×R²
    abs(0.76008748-0.75989573)×4.07202304014143e-05×R²
    0.000191750000000046×4.07202304014143e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.07202304014143e-05×40589641000000     		ar = 70659.4322848558m²