Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20340 / 4891
↖ ↑ ↗
← N 77.401491°
E 43.461914°		 ← 266.46 m → N 77.401491°
E 43.472901°		 →
↑
266.50 m
↓
↑
266.50 m
↓
N 77.399095°
E 43.461914°		 ← 266.51 m →
71 018 m²		 N 77.399095°
E 43.472901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620742797851562 y=0.149276733398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620742797851562 × 215)
    floor (0.620742797851562 × 32768)
    floor (20340.5)     		tx = 20340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149276733398438 × 215)
    floor (0.149276733398438 × 32768)
    floor (4891.5)     		ty = 4891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20340 / 4891 ti = "15/20340/4891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20340/4891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20340 ÷ 215
    20340 ÷ 32768     		x = 0.6207275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4891 ÷ 215
    4891 ÷ 32768     		y = 0.149261474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6207275390625 × 2 - 1) × π
    0.241455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.75855350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149261474609375 × 2 - 1) × π
    0.70147705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20375514933322
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75855350} λ = 0.75855350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20375514933322))-π/2
    2×atan(9.05896748410111)-π/2
    2×1.46085359694133-π/2
    2.92170719388265-1.57079632675     		φ = 1.35091087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75855350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.461914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35091087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.401491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20340 KachelY 4891 0.75855350 1.35091087 43.461914 77.401491
    Oben rechts KachelX + 1 20341 KachelY 4891 0.75874525 1.35091087 43.472901 77.401491
    Unten links KachelX 20340 KachelY + 1 4892 0.75855350 1.35086904 43.461914 77.399095
    Unten rechts KachelX + 1 20341 KachelY + 1 4892 0.75874525 1.35086904 43.472901 77.399095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35091087-1.35086904) × R
    4.18300000000205e-05 × 6371000     		dl = 266.49893000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35091087-1.35086904) × R
    4.18300000000205e-05 × 6371000     		dr = 266.49893000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75855350-0.75874525) × cos(1.35091087) × R
    0.000191750000000046 × 0.218117839227813 × 6371000     		do = 266.46131352595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75855350-0.75874525) × cos(1.35086904) × R
    0.000191750000000046 × 0.218158661872626 × 6371000     		du = 266.511184071142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35091087)-sin(1.35086904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218117839227813-0.218158661872626)×R²
    abs(0.75874525-0.75855350)×4.08226448128934e-05×R²
    0.000191750000000046×4.08226448128934e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.08226448128934e-05×40589641000000     		ar = 71018.3001756673m²