Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2034 / 1007
↖ ↑ ↗
← N 67.101655°
W  1.230469°		 ← 3 802.64 m → N 67.101655°
W  1.142578°		 →
↑
3 805.33 m
↓
↑
3 805.33 m
↓
N 67.067433°
W  1.230469°		 ← 3 808.02 m →
14 480 559 m²		 N 67.067433°
W  1.142578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4967041015625 y=0.2459716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4967041015625 × 212)
    floor (0.4967041015625 × 4096)
    floor (2034.5)     		tx = 2034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2459716796875 × 212)
    floor (0.2459716796875 × 4096)
    floor (1007.5)     		ty = 1007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2034 / 1007 ti = "12/2034/1007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2034/1007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2034 ÷ 212
    2034 ÷ 4096     		x = 0.49658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1007 ÷ 212
    1007 ÷ 4096     		y = 0.245849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49658203125 × 2 - 1) × π
    -0.0068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02147573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.245849609375 × 2 - 1) × π
    0.50830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.59687400014331
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02147573} λ = -0.02147573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59687400014331))-π/2
    2×atan(4.93757342075648)-π/2
    2×1.37097057466406-π/2
    2.74194114932812-1.57079632675     		φ = 1.17114482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02147573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.230469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17114482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.101655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2034 KachelY 1007 -0.02147573 1.17114482 -1.230469 67.101655
    Oben rechts KachelX + 1 2035 KachelY 1007 -0.01994175 1.17114482 -1.142578 67.101655
    Unten links KachelX 2034 KachelY + 1 1008 -0.02147573 1.17054753 -1.230469 67.067433
    Unten rechts KachelX + 1 2035 KachelY + 1 1008 -0.01994175 1.17054753 -1.142578 67.067433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17114482-1.17054753) × R
    0.000597290000000195 × 6371000     		dl = 3805.33459000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17114482-1.17054753) × R
    0.000597290000000195 × 6371000     		dr = 3805.33459000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02147573--0.01994175) × cos(1.17114482) × R
    0.00153398 × 0.389097335170307 × 6371000     		do = 3802.64303493317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02147573--0.01994175) × cos(1.17054753) × R
    0.00153398 × 0.389647487277031 × 6371000     		du = 3808.01966408914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17114482)-sin(1.17054753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389097335170307-0.389647487277031)×R²
    abs(-0.01994175--0.02147573)×0.000550152106723989×R²
    0.00153398×0.000550152106723989×6371000²
    0.00153398×0.000550152106723989×40589641000000     		ar = 14480559.4412163m²