Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20334 / 28754
↖ ↑ ↗
← S 79.339285°
E 43.395996°		 ← 225.99 m → S 79.339285°
E 43.406982°		 →
↑
225.92 m
↓
↑
225.92 m
↓
S 79.341317°
E 43.395996°		 ← 225.95 m →
51 051 m²		 S 79.341317°
E 43.406982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620559692382812 y=0.877517700195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620559692382812 × 215)
    floor (0.620559692382812 × 32768)
    floor (20334.5)     		tx = 20334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877517700195312 × 215)
    floor (0.877517700195312 × 32768)
    floor (28754.5)     		ty = 28754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20334 / 28754 ti = "15/20334/28754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20334/28754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20334 ÷ 215
    20334 ÷ 32768     		x = 0.62054443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28754 ÷ 215
    28754 ÷ 32768     		y = 0.87750244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62054443359375 × 2 - 1) × π
    0.2410888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.75740301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.7550048828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37191779320038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75740301} λ = 0.75740301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37191779320038))-π/2
    2×atan(0.0933016213748134)-π/2
    2×0.0930322905344244-π/2
    0.186064581068849-1.57079632675     		φ = -1.38473175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75740301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.395996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38473175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.339285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20334 KachelY 28754 0.75740301 -1.38473175 43.395996 -79.339285
    Oben rechts KachelX + 1 20335 KachelY 28754 0.75759476 -1.38473175 43.406982 -79.339285
    Unten links KachelX 20334 KachelY + 1 28755 0.75740301 -1.38476721 43.395996 -79.341317
    Unten rechts KachelX + 1 20335 KachelY + 1 28755 0.75759476 -1.38476721 43.406982 -79.341317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38473175--1.38476721) × R
    3.54599999998761e-05 × 6371000     		dl = 225.915659999211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38473175--1.38476721) × R
    3.54599999998761e-05 × 6371000     		dr = 225.915659999211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75740301-0.75759476) × cos(-1.38473175) × R
    0.000191750000000046 × 0.184992840218193 × 6371000     		do = 225.994514579578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75740301-0.75759476) × cos(-1.38476721) × R
    0.000191750000000046 × 0.184957992146159 × 6371000     		du = 225.951942806994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38473175)-sin(-1.38476721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184992840218193-0.184957992146159)×R²
    abs(0.75759476-0.75740301)×3.48480720343547e-05×R²
    0.000191750000000046×3.48480720343547e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.48480720343547e-05×40589641000000     		ar = 51050.8911081808m²