Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20333 / 28716
↖ ↑ ↗
← S 79.261777°
E 43.385010°		 ← 227.61 m → S 79.261777°
E 43.395996°		 →
↑
227.57 m
↓
↑
227.57 m
↓
S 79.263824°
E 43.385010°		 ← 227.56 m →
51 792 m²		 S 79.263824°
E 43.395996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620529174804688 y=0.876358032226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620529174804688 × 215)
    floor (0.620529174804688 × 32768)
    floor (20333.5)     		tx = 20333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876358032226562 × 215)
    floor (0.876358032226562 × 32768)
    floor (28716.5)     		ty = 28716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20333 / 28716 ti = "15/20333/28716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20333/28716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20333 ÷ 215
    20333 ÷ 32768     		x = 0.620513916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28716 ÷ 215
    28716 ÷ 32768     		y = 0.8763427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620513916015625 × 2 - 1) × π
    0.24102783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.75721127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8763427734375 × 2 - 1) × π
    -0.752685546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36463138445813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75721127} λ = 0.75721127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36463138445813))-π/2
    2×atan(0.0939839379243213)-π/2
    2×0.0937086758558891-π/2
    0.187417351711778-1.57079632675     		φ = -1.38337898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75721127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.385010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38337898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.261777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20333 KachelY 28716 0.75721127 -1.38337898 43.385010 -79.261777
    Oben rechts KachelX + 1 20334 KachelY 28716 0.75740301 -1.38337898 43.395996 -79.261777
    Unten links KachelX 20333 KachelY + 1 28717 0.75721127 -1.38341470 43.385010 -79.263824
    Unten rechts KachelX + 1 20334 KachelY + 1 28717 0.75740301 -1.38341470 43.395996 -79.263824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38337898--1.38341470) × R
    3.57200000000724e-05 × 6371000     		dl = 227.572120000461m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38337898--1.38341470) × R
    3.57200000000724e-05 × 6371000     		dr = 227.572120000461m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75721127-0.75740301) × cos(-1.38337898) × R
    0.000191739999999996 × 0.186322091557394 × 6371000     		do = 227.606509608148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75721127-0.75740301) × cos(-1.38341470) × R
    0.000191739999999996 × 0.186286996941579 × 6371000     		du = 227.563638883883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38337898)-sin(-1.38341470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186322091557394-0.186286996941579)×R²
    abs(0.75740301-0.75721127)×3.50946158145793e-05×R²
    0.000191739999999996×3.50946158145793e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.50946158145793e-05×40589641000000     		ar = 51792.0178319798m²