Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2033 / 2129
↖ ↑ ↗
← N 78.831811°
W135.329590°		 ← 473.24 m → N 78.831811°
W135.307617°		 →
↑
473.37 m
↓
↑
473.37 m
↓
N 78.827554°
W135.329590°		 ← 473.42 m →
224 057 m²		 N 78.827554°
W135.307617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124114990234375 y=0.129974365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124114990234375 × 214)
    floor (0.124114990234375 × 16384)
    floor (2033.5)     		tx = 2033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129974365234375 × 214)
    floor (0.129974365234375 × 16384)
    floor (2129.5)     		ty = 2129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2033 / 2129 ti = "14/2033/2129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2033/2129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2033 ÷ 214
    2033 ÷ 16384     		x = 0.12408447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2129 ÷ 214
    2129 ÷ 16384     		y = 0.12994384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12408447265625 × 2 - 1) × π
    -0.7518310546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.36194692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12994384765625 × 2 - 1) × π
    0.7401123046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3251313791712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36194692} λ = -2.36194692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3251313791712))-π/2
    2×atan(10.2280237468074)-π/2
    2×1.4733354865813-π/2
    2.9466709731626-1.57079632675     		φ = 1.37587465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36194692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.329590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37587465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.831811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2033 KachelY 2129 -2.36194692 1.37587465 -135.329590 78.831811
    Oben rechts KachelX + 1 2034 KachelY 2129 -2.36156342 1.37587465 -135.307617 78.831811
    Unten links KachelX 2033 KachelY + 1 2130 -2.36194692 1.37580035 -135.329590 78.827554
    Unten rechts KachelX + 1 2034 KachelY + 1 2130 -2.36156342 1.37580035 -135.307617 78.827554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37587465-1.37580035) × R
    7.43000000000826e-05 × 6371000     		dl = 473.365300000526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37587465-1.37580035) × R
    7.43000000000826e-05 × 6371000     		dr = 473.365300000526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36194692--2.36156342) × cos(1.37587465) × R
    0.00038349999999987 × 0.193689695570329 × 6371000     		do = 473.237868858371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36194692--2.36156342) × cos(1.37580035) × R
    0.00038349999999987 × 0.193762588004863 × 6371000     		du = 473.415965376479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37587465)-sin(1.37580035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193689695570329-0.193762588004863)×R²
    abs(-2.36156342--2.36194692)×7.28924345336779e-05×R²
    0.00038349999999987×7.28924345336779e-05×6371000²
    0.00038349999999987×7.28924345336779e-05×40589641000000     		ar = 224056.538223008m²