Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20328 / 28744
↖ ↑ ↗
← S 79.318942°
E 43.330078°		 ← 226.42 m → S 79.318942°
E 43.341065°		 →
↑
226.43 m
↓
↑
226.43 m
↓
S 79.320978°
E 43.330078°		 ← 226.38 m →
51 263 m²		 S 79.320978°
E 43.341065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620376586914062 y=0.877212524414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620376586914062 × 215)
    floor (0.620376586914062 × 32768)
    floor (20328.5)     		tx = 20328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877212524414062 × 215)
    floor (0.877212524414062 × 32768)
    floor (28744.5)     		ty = 28744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20328 / 28744 ti = "15/20328/28744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20328/28744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20328 ÷ 215
    20328 ÷ 32768     		x = 0.620361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28744 ÷ 215
    28744 ÷ 32768     		y = 0.877197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620361328125 × 2 - 1) × π
    0.24072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.75625253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877197265625 × 2 - 1) × π
    -0.75439453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37000031721558
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75625253} λ = 0.75625253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37000031721558))-π/2
    2×atan(0.0934806966245207)-π/2
    2×0.0932098174104903-π/2
    0.186419634820981-1.57079632675     		φ = -1.38437669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75625253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.330078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38437669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.318942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20328 KachelY 28744 0.75625253 -1.38437669 43.330078 -79.318942
    Oben rechts KachelX + 1 20329 KachelY 28744 0.75644428 -1.38437669 43.341065 -79.318942
    Unten links KachelX 20328 KachelY + 1 28745 0.75625253 -1.38441223 43.330078 -79.320978
    Unten rechts KachelX + 1 20329 KachelY + 1 28745 0.75644428 -1.38441223 43.341065 -79.320978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38437669--1.38441223) × R
    3.5539999999834e-05 × 6371000     		dl = 226.425339998943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38437669--1.38441223) × R
    3.5539999999834e-05 × 6371000     		dr = 226.425339998943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75625253-0.75644428) × cos(-1.38437669) × R
    0.000191749999999935 × 0.185341760167756 × 6371000     		do = 226.420768884941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75625253-0.75644428) × cos(-1.38441223) × R
    0.000191749999999935 × 0.185306835812382 × 6371000     		du = 226.378103921635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38437669)-sin(-1.38441223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185341760167756-0.185306835812382)×R²
    abs(0.75644428-0.75625253)×3.49243553743606e-05×R²
    0.000191749999999935×3.49243553743606e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.49243553743606e-05×40589641000000     		ar = 51262.5693690614m²