Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 20325 / 16107
↖ ↑ ↗
← N 67.112340°
W 68.351440°		 ← 237.55 m → N 67.112340°
W 68.345947°		 →
↑
237.57 m
↓
↑
237.57 m
↓
N 67.110203°
W 68.351440°		 ← 237.57 m →
56 439 m²		 N 67.110203°
W 68.345947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.310142517089844 y=0.245780944824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.310142517089844 × 216)
    floor (0.310142517089844 × 65536)
    floor (20325.5)     		tx = 20325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245780944824219 × 216)
    floor (0.245780944824219 × 65536)
    floor (16107.5)     		ty = 16107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 20325 / 16107 ti = "16/20325/16107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/20325/16107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20325 ÷ 216
    20325 ÷ 65536     		x = 0.310134887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16107 ÷ 216
    16107 ÷ 65536     		y = 0.245773315429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.310134887695312 × 2 - 1) × π
    -0.379730224609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.19295768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.245773315429688 × 2 - 1) × π
    0.508453369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.59735336913951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.19295768} λ = -1.19295768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59735336913951))-π/2
    2×atan(4.93994090777545)-π/2
    2×1.37106381467387-π/2
    2.74212762934773-1.57079632675     		φ = 1.17133130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.19295768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -68.351440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17133130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.112340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20325 KachelY 16107 -1.19295768 1.17133130 -68.351440 67.112340
    Oben rechts KachelX + 1 20326 KachelY 16107 -1.19286181 1.17133130 -68.345947 67.112340
    Unten links KachelX 20325 KachelY + 1 16108 -1.19295768 1.17129401 -68.351440 67.110203
    Unten rechts KachelX + 1 20326 KachelY + 1 16108 -1.19286181 1.17129401 -68.345947 67.110203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17133130-1.17129401) × R
    3.72900000000786e-05 × 6371000     		dl = 237.574590000501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17133130-1.17129401) × R
    3.72900000000786e-05 × 6371000     		dr = 237.574590000501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.19295768--1.19286181) × cos(1.17133130) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.388925543655048 × 6371000     		do = 237.550965505099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.19295768--1.19286181) × cos(1.17129401) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.388959897512747 × 6371000     		du = 237.571948421234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17133130)-sin(1.17129401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388925543655048-0.388959897512747)×R²
    abs(-1.19286181--1.19295768)×3.43538576993985e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.43538576993985e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.43538576993985e-05×40589641000000     		ar = 56438.5657445958m²