Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20313 / 36281
↖ ↑ ↗
← N 62.358530°
W124.208679°		 ← 141.70 m → N 62.358530°
W124.205932°		 →
↑
141.69 m
↓
↑
141.69 m
↓
N 62.357256°
W124.208679°		 ← 141.70 m →
20 078 m²		 N 62.357256°
W124.205932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.154979705810547 y=0.276805877685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.154979705810547 × 217)
    floor (0.154979705810547 × 131072)
    floor (20313.5)     		tx = 20313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276805877685547 × 217)
    floor (0.276805877685547 × 131072)
    floor (36281.5)     		ty = 36281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20313 / 36281 ti = "17/20313/36281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20313/36281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20313 ÷ 217
    20313 ÷ 131072     		x = 0.154975891113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36281 ÷ 217
    36281 ÷ 131072     		y = 0.276802062988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.154975891113281 × 2 - 1) × π
    -0.690048217773438 × 3.1415926535     		Λ = -2.16785041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276802062988281 × 2 - 1) × π
    0.446395874023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.40239399838474
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16785041} λ = -2.16785041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40239399838474))-π/2
    2×atan(4.06491973893226)-π/2
    2×1.32957899856567-π/2
    2.65915799713135-1.57079632675     		φ = 1.08836167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16785041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.208679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08836167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.358530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20313 KachelY 36281 -2.16785041 1.08836167 -124.208679 62.358530
    Oben rechts KachelX + 1 20314 KachelY 36281 -2.16780247 1.08836167 -124.205932 62.358530
    Unten links KachelX 20313 KachelY + 1 36282 -2.16785041 1.08833943 -124.208679 62.357256
    Unten rechts KachelX + 1 20314 KachelY + 1 36282 -2.16780247 1.08833943 -124.205932 62.357256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08836167-1.08833943) × R
    2.22400000000622e-05 × 6371000     		dl = 141.691040000396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08836167-1.08833943) × R
    2.22400000000622e-05 × 6371000     		dr = 141.691040000396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16785041--2.16780247) × cos(1.08836167) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.463937333014057 × 6371000     		do = 141.698403249352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16785041--2.16780247) × cos(1.08833943) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.463957034604112 × 6371000     		du = 141.704420622074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08836167)-sin(1.08833943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463937333014057-0.463957034604112)×R²
    abs(-2.16780247--2.16785041)×1.97015900547659e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97015900547659e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97015900547659e-05×40589641000000     		ar = 20077.8204276863m²