Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20307 / 28758
↖ ↑ ↗
← S 79.347411°
E 43.099365°		 ← 225.82 m → S 79.347411°
E 43.110352°		 →
↑
225.79 m
↓
↑
225.79 m
↓
S 79.349442°
E 43.099365°		 ← 225.78 m →
50 984 m²		 S 79.349442°
E 43.110352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619735717773438 y=0.877639770507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619735717773438 × 215)
    floor (0.619735717773438 × 32768)
    floor (20307.5)     		tx = 20307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877639770507812 × 215)
    floor (0.877639770507812 × 32768)
    floor (28758.5)     		ty = 28758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20307 / 28758 ti = "15/20307/28758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20307/28758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20307 ÷ 215
    20307 ÷ 32768     		x = 0.619720458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28758 ÷ 215
    28758 ÷ 32768     		y = 0.87762451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619720458984375 × 2 - 1) × π
    0.23944091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.75222583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87762451171875 × 2 - 1) × π
    -0.7552490234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.3726847835943
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75222583} λ = 0.75222583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3726847835943))-π/2
    2×atan(0.0932300873639381)-π/2
    2×0.0929613733976816-π/2
    0.185922746795363-1.57079632675     		φ = -1.38487358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75222583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.099365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38487358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.347411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20307 KachelY 28758 0.75222583 -1.38487358 43.099365 -79.347411
    Oben rechts KachelX + 1 20308 KachelY 28758 0.75241758 -1.38487358 43.110352 -79.347411
    Unten links KachelX 20307 KachelY + 1 28759 0.75222583 -1.38490902 43.099365 -79.349442
    Unten rechts KachelX + 1 20308 KachelY + 1 28759 0.75241758 -1.38490902 43.110352 -79.349442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38487358--1.38490902) × R
    3.54399999999977e-05 × 6371000     		dl = 225.788239999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38487358--1.38490902) × R
    3.54399999999977e-05 × 6371000     		dr = 225.788239999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75222583-0.75241758) × cos(-1.38487358) × R
    0.000191750000000046 × 0.184853456362481 × 6371000     		do = 225.824237790624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75222583-0.75241758) × cos(-1.38490902) × R
    0.000191750000000046 × 0.184818627015955 × 6371000     		du = 225.781688893855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38487358)-sin(-1.38490902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184853456362481-0.184818627015955)×R²
    abs(0.75241758-0.75222583)×3.48293465263771e-05×R²
    0.000191750000000046×3.48293465263771e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.48293465263771e-05×40589641000000     		ar = 50983.6536846737m²