Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20305 / 28756
↖ ↑ ↗
← S 79.343349°
E 43.077392°		 ← 225.91 m → S 79.343349°
E 43.088379°		 →
↑
225.85 m
↓
↑
225.85 m
↓
S 79.345380°
E 43.077392°		 ← 225.87 m →
51 017 m²		 S 79.345380°
E 43.088379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619674682617188 y=0.877578735351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619674682617188 × 215)
    floor (0.619674682617188 × 32768)
    floor (20305.5)     		tx = 20305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877578735351562 × 215)
    floor (0.877578735351562 × 32768)
    floor (28756.5)     		ty = 28756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20305 / 28756 ti = "15/20305/28756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20305/28756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20305 ÷ 215
    20305 ÷ 32768     		x = 0.619659423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28756 ÷ 215
    28756 ÷ 32768     		y = 0.8775634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619659423828125 × 2 - 1) × π
    0.23931884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.75184233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8775634765625 × 2 - 1) × π
    -0.755126953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37230128839734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75184233} λ = 0.75184233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37230128839734))-π/2
    2×atan(0.0932658475111384)-π/2
    2×0.0929968252842218-π/2
    0.185993650568444-1.57079632675     		φ = -1.38480268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75184233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.077392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38480268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.343349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20305 KachelY 28756 0.75184233 -1.38480268 43.077392 -79.343349
    Oben rechts KachelX + 1 20306 KachelY 28756 0.75203408 -1.38480268 43.088379 -79.343349
    Unten links KachelX 20305 KachelY + 1 28757 0.75184233 -1.38483813 43.077392 -79.345380
    Unten rechts KachelX + 1 20306 KachelY + 1 28757 0.75203408 -1.38483813 43.088379 -79.345380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38480268--1.38483813) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dl = 225.851949999598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38480268--1.38483813) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dr = 225.851949999598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75184233-0.75203408) × cos(-1.38480268) × R
    0.000191750000000046 × 0.184923134014026 × 6371000     		do = 225.909358744598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75184233-0.75203408) × cos(-1.38483813) × R
    0.000191750000000046 × 0.184888295304429 × 6371000     		du = 225.866798409535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38480268)-sin(-1.38483813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184923134014026-0.184888295304429)×R²
    abs(0.75203408-0.75184233)×3.48387095973901e-05×R²
    0.000191750000000046×3.48387095973901e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.48387095973901e-05×40589641000000     		ar = 51017.2630339726m²