Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20305 / 28727
↖ ↑ ↗
← S 79.284270°
E 43.077392°		 ← 227.15 m → S 79.284270°
E 43.088379°		 →
↑
227.13 m
↓
↑
227.13 m
↓
S 79.286313°
E 43.077392°		 ← 227.10 m →
51 586 m²		 S 79.286313°
E 43.088379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619674682617188 y=0.876693725585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619674682617188 × 215)
    floor (0.619674682617188 × 32768)
    floor (20305.5)     		tx = 20305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876693725585938 × 215)
    floor (0.876693725585938 × 32768)
    floor (28727.5)     		ty = 28727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20305 / 28727 ti = "15/20305/28727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20305/28727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20305 ÷ 215
    20305 ÷ 32768     		x = 0.619659423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28727 ÷ 215
    28727 ÷ 32768     		y = 0.876678466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619659423828125 × 2 - 1) × π
    0.23931884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.75184233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876678466796875 × 2 - 1) × π
    -0.75335693359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36674060804141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75184233} λ = 0.75184233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36674060804141))-π/2
    2×atan(0.0937859136981002)-π/2
    2×0.0935123818401945-π/2
    0.187024763680389-1.57079632675     		φ = -1.38377156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75184233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.077392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38377156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.284270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20305 KachelY 28727 0.75184233 -1.38377156 43.077392 -79.284270
    Oben rechts KachelX + 1 20306 KachelY 28727 0.75203408 -1.38377156 43.088379 -79.284270
    Unten links KachelX 20305 KachelY + 1 28728 0.75184233 -1.38380721 43.077392 -79.286313
    Unten rechts KachelX + 1 20306 KachelY + 1 28728 0.75203408 -1.38380721 43.088379 -79.286313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38377156--1.38380721) × R
    3.56500000000537e-05 × 6371000     		dl = 227.126150000342m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38377156--1.38380721) × R
    3.56500000000537e-05 × 6371000     		dr = 227.126150000342m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75184233-0.75203408) × cos(-1.38377156) × R
    0.000191750000000046 × 0.185936371789056 × 6371000     		do = 227.147169780158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75184233-0.75203408) × cos(-1.38380721) × R
    0.000191750000000046 × 0.185901343343195 × 6371000     		du = 227.104377655827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38377156)-sin(-1.38380721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185936371789056-0.185901343343195)×R²
    abs(0.75203408-0.75184233)×3.50284458613126e-05×R²
    0.000191750000000046×3.50284458613126e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.50284458613126e-05×40589641000000     		ar = 51586.2025556364m²