Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20304 / 28718
↖ ↑ ↗
← S 79.265870°
E 43.066406°		 ← 227.52 m → S 79.265870°
E 43.077392°		 →
↑
227.51 m
↓
↑
227.51 m
↓
S 79.267916°
E 43.066406°		 ← 227.48 m →
51 758 m²		 S 79.267916°
E 43.077392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619644165039062 y=0.876419067382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619644165039062 × 215)
    floor (0.619644165039062 × 32768)
    floor (20304.5)     		tx = 20304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876419067382812 × 215)
    floor (0.876419067382812 × 32768)
    floor (28718.5)     		ty = 28718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20304 / 28718 ti = "15/20304/28718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20304/28718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20304 ÷ 215
    20304 ÷ 32768     		x = 0.61962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28718 ÷ 215
    28718 ÷ 32768     		y = 0.87640380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61962890625 × 2 - 1) × π
    0.2392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.75165059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87640380859375 × 2 - 1) × π
    -0.7528076171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36501487965509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75165059} λ = 0.75165059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36501487965509))-π/2
    2×atan(0.0939479024456941)-π/2
    2×0.0936729557711173-π/2
    0.187345911542235-1.57079632675     		φ = -1.38345042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75165059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.066406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38345042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.265870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20304 KachelY 28718 0.75165059 -1.38345042 43.066406 -79.265870
    Oben rechts KachelX + 1 20305 KachelY 28718 0.75184233 -1.38345042 43.077392 -79.265870
    Unten links KachelX 20304 KachelY + 1 28719 0.75165059 -1.38348613 43.066406 -79.267916
    Unten rechts KachelX + 1 20305 KachelY + 1 28719 0.75184233 -1.38348613 43.077392 -79.267916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38345042--1.38348613) × R
    3.57100000001331e-05 × 6371000     		dl = 227.508410000848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38345042--1.38348613) × R
    3.57100000001331e-05 × 6371000     		dr = 227.508410000848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75165059-0.75184233) × cos(-1.38345042) × R
    0.000191739999999996 × 0.186251902088078 × 6371000     		do = 227.520767869266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75165059-0.75184233) × cos(-1.38348613) × R
    0.000191739999999996 × 0.186216816822021 × 6371000     		du = 227.477908566436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38345042)-sin(-1.38348613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186251902088078-0.186216816822021)×R²
    abs(0.75184233-0.75165059)×3.5085266057111e-05×R²
    0.000191739999999996×3.5085266057111e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.5085266057111e-05×40589641000000     		ar = 51758.0127195303m²