Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20303 / 28755
↖ ↑ ↗
← S 79.341317°
E 43.055420°		 ← 225.95 m → S 79.341317°
E 43.066406°		 →
↑
225.98 m
↓
↑
225.98 m
↓
S 79.343349°
E 43.055420°		 ← 225.91 m →
51 056 m²		 S 79.343349°
E 43.066406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619613647460938 y=0.877548217773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619613647460938 × 215)
    floor (0.619613647460938 × 32768)
    floor (20303.5)     		tx = 20303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877548217773438 × 215)
    floor (0.877548217773438 × 32768)
    floor (28755.5)     		ty = 28755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20303 / 28755 ti = "15/20303/28755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20303/28755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20303 ÷ 215
    20303 ÷ 32768     		x = 0.619598388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28755 ÷ 215
    28755 ÷ 32768     		y = 0.877532958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619598388671875 × 2 - 1) × π
    0.23919677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.75145884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877532958984375 × 2 - 1) × π
    -0.75506591796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.37210954079886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75145884} λ = 0.75145884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37210954079886))-π/2
    2×atan(0.0932837327280878)-π/2
    2×0.0930145562385617-π/2
    0.186029112477123-1.57079632675     		φ = -1.38476721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75145884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.055420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38476721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.341317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20303 KachelY 28755 0.75145884 -1.38476721 43.055420 -79.341317
    Oben rechts KachelX + 1 20304 KachelY 28755 0.75165059 -1.38476721 43.066406 -79.341317
    Unten links KachelX 20303 KachelY + 1 28756 0.75145884 -1.38480268 43.055420 -79.343349
    Unten rechts KachelX + 1 20304 KachelY + 1 28756 0.75165059 -1.38480268 43.066406 -79.343349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38476721--1.38480268) × R
    3.54700000000374e-05 × 6371000     		dl = 225.979370000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38476721--1.38480268) × R
    3.54700000000374e-05 × 6371000     		dr = 225.979370000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75145884-0.75165059) × cos(-1.38476721) × R
    0.000191750000000046 × 0.184957992146159 × 6371000     		do = 225.951942806994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75145884-0.75165059) × cos(-1.38480268) × R
    0.000191750000000046 × 0.184923134014026 × 6371000     		du = 225.909358744598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38476721)-sin(-1.38480268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184957992146159-0.184923134014026)×R²
    abs(0.75165059-0.75145884)×3.48581321327202e-05×R²
    0.000191750000000046×3.48581321327202e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.48581321327202e-05×40589641000000     		ar = 51055.6661311558m²