Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2030 / 2166
↖ ↑ ↗
← S 10.314919°
W  1.582031°		 ← 9 615.04 m → S 10.314919°
W  1.494140°		 →
↑
9 613.78 m
↓
↑
9 613.78 m
↓
S 10.401378°
W  1.582031°		 ← 9 612.39 m →
92 424 105 m²		 S 10.401378°
W  1.494140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4957275390625 y=0.5289306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4957275390625 × 212)
    floor (0.4957275390625 × 4096)
    floor (2030.5)     		tx = 2030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5289306640625 × 212)
    floor (0.5289306640625 × 4096)
    floor (2166.5)     		ty = 2166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2030 / 2166 ti = "12/2030/2166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2030/2166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2030 ÷ 212
    2030 ÷ 4096     		x = 0.49560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2166 ÷ 212
    2166 ÷ 4096     		y = 0.52880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49560546875 × 2 - 1) × π
    -0.0087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02761165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52880859375 × 2 - 1) × π
    -0.0576171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.181009732965332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02761165} λ = -0.02761165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.181009732965332))-π/2
    2×atan(0.834427237204895)-π/2
    2×0.695383511592543-π/2
    1.39076702318509-1.57079632675     		φ = -0.18002930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02761165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18002930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.314919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2030 KachelY 2166 -0.02761165 -0.18002930 -1.582031 -10.314919
    Oben rechts KachelX + 1 2031 KachelY 2166 -0.02607767 -0.18002930 -1.494140 -10.314919
    Unten links KachelX 2030 KachelY + 1 2167 -0.02761165 -0.18153829 -1.582031 -10.401378
    Unten rechts KachelX + 1 2031 KachelY + 1 2167 -0.02607767 -0.18153829 -1.494140 -10.401378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18002930--0.18153829) × R
    0.00150898999999999 × 6371000     		dl = 9613.77528999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18002930--0.18153829) × R
    0.00150898999999999 × 6371000     		dr = 9613.77528999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02761165--0.02607767) × cos(-0.18002930) × R
    0.00153398 × 0.983838446799311 × 6371000     		do = 9615.03993745771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02761165--0.02607767) × cos(-0.18153829) × R
    0.00153398 × 0.983567129442025 × 6371000     		du = 9612.38835656604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18002930)-sin(-0.18153829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983838446799311-0.983567129442025)×R²
    abs(-0.02607767--0.02761165)×0.000271317357285805×R²
    0.00153398×0.000271317357285805×6371000²
    0.00153398×0.000271317357285805×40589641000000     		ar = 92424105.0495322m²