Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2030 / 2164
↖ ↑ ↗
← S 10.141932°
W  1.582031°		 ← 9 620.28 m → S 10.141932°
W  1.494140°		 →
↑
9 619 m
↓
↑
9 619 m
↓
S 10.228437°
W  1.582031°		 ← 9 617.67 m →
92 524 933 m²		 S 10.228437°
W  1.494140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4957275390625 y=0.5284423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4957275390625 × 212)
    floor (0.4957275390625 × 4096)
    floor (2030.5)     		tx = 2030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5284423828125 × 212)
    floor (0.5284423828125 × 4096)
    floor (2164.5)     		ty = 2164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2030 / 2164 ti = "12/2030/2164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2030/2164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2030 ÷ 212
    2030 ÷ 4096     		x = 0.49560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2164 ÷ 212
    2164 ÷ 4096     		y = 0.5283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49560546875 × 2 - 1) × π
    -0.0087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02761165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5283203125 × 2 - 1) × π
    -0.056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.177941771389648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02761165} λ = -0.02761165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.177941771389648))-π/2
    2×atan(0.836991158901916)-π/2
    2×0.696893113182288-π/2
    1.39378622636458-1.57079632675     		φ = -0.17701010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02761165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17701010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.141932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2030 KachelY 2164 -0.02761165 -0.17701010 -1.582031 -10.141932
    Oben rechts KachelX + 1 2031 KachelY 2164 -0.02607767 -0.17701010 -1.494140 -10.141932
    Unten links KachelX 2030 KachelY + 1 2165 -0.02761165 -0.17851991 -1.582031 -10.228437
    Unten rechts KachelX + 1 2031 KachelY + 1 2165 -0.02607767 -0.17851991 -1.494140 -10.228437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17701010--0.17851991) × R
    0.00150981 × 6371000     		dl = 9618.99951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17701010--0.17851991) × R
    0.00150981 × 6371000     		dr = 9618.99951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02761165--0.02607767) × cos(-0.17701010) × R
    0.00153398 × 0.984374574979126 × 6371000     		do = 9620.2795109642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02761165--0.02607767) × cos(-0.17851991) × R
    0.00153398 × 0.984107594936239 × 6371000     		du = 9617.67031858794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17701010)-sin(-0.17851991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984374574979126-0.984107594936239)×R²
    abs(-0.02607767--0.02761165)×0.000266980042886944×R²
    0.00153398×0.000266980042886944×6371000²
    0.00153398×0.000266980042886944×40589641000000     		ar = 92524932.5680195m²