Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2030 / 1935
↖ ↑ ↗
← N 79.628013°
W135.395508°		 ← 439.87 m → N 79.628013°
W135.373535°		 →
↑
439.92 m
↓
↑
439.92 m
↓
N 79.624057°
W135.395508°		 ← 440.04 m →
193 544 m²		 N 79.624057°
W135.373535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.123931884765625 y=0.118133544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.123931884765625 × 214)
    floor (0.123931884765625 × 16384)
    floor (2030.5)     		tx = 2030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118133544921875 × 214)
    floor (0.118133544921875 × 16384)
    floor (1935.5)     		ty = 1935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2030 / 1935 ti = "14/2030/1935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2030/1935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2030 ÷ 214
    2030 ÷ 16384     		x = 0.1239013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1935 ÷ 214
    1935 ÷ 16384     		y = 0.11810302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1239013671875 × 2 - 1) × π
    -0.752197265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.36309740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11810302734375 × 2 - 1) × π
    0.7637939453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39952944738153
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36309740} λ = -2.36309740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39952944738153))-π/2
    2×atan(11.017990616315)-π/2
    2×1.48028366484646-π/2
    2.96056732969292-1.57079632675     		φ = 1.38977100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36309740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38977100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.628013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2030 KachelY 1935 -2.36309740 1.38977100 -135.395508 79.628013
    Oben rechts KachelX + 1 2031 KachelY 1935 -2.36271391 1.38977100 -135.373535 79.628013
    Unten links KachelX 2030 KachelY + 1 1936 -2.36309740 1.38970195 -135.395508 79.624057
    Unten rechts KachelX + 1 2031 KachelY + 1 1936 -2.36271391 1.38970195 -135.373535 79.624057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38977100-1.38970195) × R
    6.90500000000149e-05 × 6371000     		dl = 439.917550000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38977100-1.38970195) × R
    6.90500000000149e-05 × 6371000     		dr = 439.917550000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36309740--2.36271391) × cos(1.38977100) × R
    0.000383489999999931 × 0.180038240442836 × 6371000     		do = 439.872091815434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36309740--2.36271391) × cos(1.38970195) × R
    0.000383489999999931 × 0.180106161709778 × 6371000     		du = 440.038038059382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38977100)-sin(1.38970195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180038240442836-0.180106161709778)×R²
    abs(-2.36271391--2.36309740)×6.79212669416618e-05×R²
    0.000383489999999931×6.79212669416618e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.79212669416618e-05×40589641000000     		ar = 193543.954353707m²