Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20293 / 28700
↖ ↑ ↗
← S 79.228975°
E 42.945556°		 ← 228.31 m → S 79.228975°
E 42.956543°		 →
↑
228.27 m
↓
↑
228.27 m
↓
S 79.231028°
E 42.945556°		 ← 228.26 m →
52 111 m²		 S 79.231028°
E 42.956543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619308471679688 y=0.875869750976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619308471679688 × 215)
    floor (0.619308471679688 × 32768)
    floor (20293.5)     		tx = 20293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875869750976562 × 215)
    floor (0.875869750976562 × 32768)
    floor (28700.5)     		ty = 28700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20293 / 28700 ti = "15/20293/28700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20293/28700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20293 ÷ 215
    20293 ÷ 32768     		x = 0.619293212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28700 ÷ 215
    28700 ÷ 32768     		y = 0.8758544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619293212890625 × 2 - 1) × π
    0.23858642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.74954136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8758544921875 × 2 - 1) × π
    -0.751708984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36156342288245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74954136} λ = 0.74954136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36156342288245))-π/2
    2×atan(0.0942727197939339)-π/2
    2×0.0939949215460365-π/2
    0.187989843092073-1.57079632675     		φ = -1.38280648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74954136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.945556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38280648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.228975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20293 KachelY 28700 0.74954136 -1.38280648 42.945556 -79.228975
    Oben rechts KachelX + 1 20294 KachelY 28700 0.74973311 -1.38280648 42.956543 -79.228975
    Unten links KachelX 20293 KachelY + 1 28701 0.74954136 -1.38284231 42.945556 -79.231028
    Unten rechts KachelX + 1 20294 KachelY + 1 28701 0.74973311 -1.38284231 42.956543 -79.231028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38280648--1.38284231) × R
    3.583000000007e-05 × 6371000     		dl = 228.272930000446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38280648--1.38284231) × R
    3.583000000007e-05 × 6371000     		dr = 228.272930000446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74954136-0.74973311) × cos(-1.38280648) × R
    0.000191749999999935 × 0.186884535782793 × 6371000     		do = 228.305484130213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74954136-0.74973311) × cos(-1.38284231) × R
    0.000191749999999935 × 0.186849336919859 × 6371000     		du = 228.262483817697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38280648)-sin(-1.38284231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186884535782793-0.186849336919859)×R²
    abs(0.74973311-0.74954136)×3.51988629343492e-05×R²
    0.000191749999999935×3.51988629343492e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.51988629343492e-05×40589641000000     		ar = 52111.0538997305m²