Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20283 / 28732
↖ ↑ ↗
← S 79.294479°
E 42.835694°		 ← 226.92 m → S 79.294479°
E 42.846679°		 →
↑
226.94 m
↓
↑
226.94 m
↓
S 79.296520°
E 42.835694°		 ← 226.88 m →
51 492 m²		 S 79.296520°
E 42.846679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619003295898438 y=0.876846313476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619003295898438 × 215)
    floor (0.619003295898438 × 32768)
    floor (20283.5)     		tx = 20283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876846313476562 × 215)
    floor (0.876846313476562 × 32768)
    floor (28732.5)     		ty = 28732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20283 / 28732 ti = "15/20283/28732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20283/28732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20283 ÷ 215
    20283 ÷ 32768     		x = 0.618988037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28732 ÷ 215
    28732 ÷ 32768     		y = 0.8768310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.618988037109375 × 2 - 1) × π
    0.23797607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.74762389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8768310546875 × 2 - 1) × π
    -0.753662109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36769934603381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74762389} λ = 0.74762389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36769934603381))-π/2
    2×atan(0.0936960406687138)-π/2
    2×0.0934232916791461-π/2
    0.186846583358292-1.57079632675     		φ = -1.38394974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74762389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.835694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38394974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.294479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20283 KachelY 28732 0.74762389 -1.38394974 42.835694 -79.294479
    Oben rechts KachelX + 1 20284 KachelY 28732 0.74781563 -1.38394974 42.846679 -79.294479
    Unten links KachelX 20283 KachelY + 1 28733 0.74762389 -1.38398536 42.835694 -79.296520
    Unten rechts KachelX + 1 20284 KachelY + 1 28733 0.74781563 -1.38398536 42.846679 -79.296520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38394974--1.38398536) × R
    3.5620000000014e-05 × 6371000     		dl = 226.935020000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38394974--1.38398536) × R
    3.5620000000014e-05 × 6371000     		dr = 226.935020000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74762389-0.74781563) × cos(-1.38394974) × R
    0.000191739999999996 × 0.185761295979177 × 6371000     		do = 226.921455446857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74762389-0.74781563) × cos(-1.38398536) × R
    0.000191739999999996 × 0.185726295830939 × 6371000     		du = 226.878700121874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38394974)-sin(-1.38398536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185761295979177-0.185726295830939)×R²
    abs(0.74781563-0.74762389)×3.50001482379569e-05×R²
    0.000191739999999996×3.50001482379569e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.50001482379569e-05×40589641000000     		ar = 51491.5736957527m²