Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20282 / 28729
↖ ↑ ↗
← S 79.288355°
E 42.824707°		 ← 227.06 m → S 79.288355°
E 42.835694°		 →
↑
227 m
↓
↑
227 m
↓
S 79.290397°
E 42.824707°		 ← 227.02 m →
51 538 m²		 S 79.290397°
E 42.835694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.618972778320312 y=0.876754760742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.618972778320312 × 215)
    floor (0.618972778320312 × 32768)
    floor (20282.5)     		tx = 20282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876754760742188 × 215)
    floor (0.876754760742188 × 32768)
    floor (28729.5)     		ty = 28729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20282 / 28729 ti = "15/20282/28729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20282/28729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20282 ÷ 215
    20282 ÷ 32768     		x = 0.61895751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28729 ÷ 215
    28729 ÷ 32768     		y = 0.876739501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61895751953125 × 2 - 1) × π
    0.2379150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.74743214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876739501953125 × 2 - 1) × π
    -0.75347900390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36712410323837
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74743214} λ = 0.74743214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36712410323837))-π/2
    2×atan(0.0937499541462528)-π/2
    2×0.0934767357043423-π/2
    0.186953471408685-1.57079632675     		φ = -1.38384286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74743214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.824707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38384286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.288355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20282 KachelY 28729 0.74743214 -1.38384286 42.824707 -79.288355
    Oben rechts KachelX + 1 20283 KachelY 28729 0.74762389 -1.38384286 42.835694 -79.288355
    Unten links KachelX 20282 KachelY + 1 28730 0.74743214 -1.38387849 42.824707 -79.290397
    Unten rechts KachelX + 1 20283 KachelY + 1 28730 0.74762389 -1.38387849 42.835694 -79.290397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38384286--1.38387849) × R
    3.56300000001752e-05 × 6371000     		dl = 226.998730001116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38384286--1.38387849) × R
    3.56300000001752e-05 × 6371000     		dr = 226.998730001116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74743214-0.74762389) × cos(-1.38384286) × R
    0.000191749999999935 × 0.185866314661067 × 6371000     		do = 227.061585242734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74743214-0.74762389) × cos(-1.38387849) × R
    0.000191749999999935 × 0.185831305394351 × 6371000     		du = 227.0188165484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38384286)-sin(-1.38387849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185866314661067-0.185831305394351)×R²
    abs(0.74762389-0.74743214)×3.50092667159851e-05×R²
    0.000191749999999935×3.50092667159851e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.50092667159851e-05×40589641000000     		ar = 51537.8372683183m²