Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2027 / 2163
↖ ↑ ↗
← S 10.055403°
W  1.845703°		 ← 9 622.87 m → S 10.055403°
W  1.757813°		 →
↑
9 621.55 m
↓
↑
9 621.55 m
↓
S 10.141932°
W  1.845703°		 ← 9 620.28 m →
92 574 448 m²		 S 10.141932°
W  1.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4949951171875 y=0.5281982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4949951171875 × 212)
    floor (0.4949951171875 × 4096)
    floor (2027.5)     		tx = 2027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5281982421875 × 212)
    floor (0.5281982421875 × 4096)
    floor (2163.5)     		ty = 2163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2027 / 2163 ti = "12/2027/2163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2027/2163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2027 ÷ 212
    2027 ÷ 4096     		x = 0.494873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2163 ÷ 212
    2163 ÷ 4096     		y = 0.528076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494873046875 × 2 - 1) × π
    -0.01025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03221360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528076171875 × 2 - 1) × π
    -0.05615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.176407790601807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03221360} λ = -0.03221360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.176407790601807))-π/2
    2×atan(0.838276072523709)-π/2
    2×0.697648220716384-π/2
    1.39529644143277-1.57079632675     		φ = -0.17549989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03221360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.845703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17549989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.055403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2027 KachelY 2163 -0.03221360 -0.17549989 -1.845703 -10.055403
    Oben rechts KachelX + 1 2028 KachelY 2163 -0.03067962 -0.17549989 -1.757813 -10.055403
    Unten links KachelX 2027 KachelY + 1 2164 -0.03221360 -0.17701010 -1.845703 -10.141932
    Unten rechts KachelX + 1 2028 KachelY + 1 2164 -0.03067962 -0.17701010 -1.757813 -10.141932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17549989--0.17701010) × R
    0.00151021000000001 × 6371000     		dl = 9621.54791000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17549989--0.17701010) × R
    0.00151021000000001 × 6371000     		dr = 9621.54791000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03221360--0.03067962) × cos(-0.17549989) × R
    0.00153398 × 0.984639380954996 × 6371000     		do = 9622.86745621269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03221360--0.03067962) × cos(-0.17701010) × R
    0.00153398 × 0.984374574979126 × 6371000     		du = 9620.2795109642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17549989)-sin(-0.17701010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984639380954996-0.984374574979126)×R²
    abs(-0.03067962--0.03221360)×0.000264805975870419×R²
    0.00153398×0.000264805975870419×6371000²
    0.00153398×0.000264805975870419×40589641000000     		ar = 92574447.8367421m²