Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20224 / 4860
↖ ↑ ↗
← N 77.475562°
E 42.187500°		 ← 264.92 m → N 77.475562°
E 42.198487°		 →
↑
264.91 m
↓
↑
264.91 m
↓
N 77.473179°
E 42.187500°		 ← 264.97 m →
70 185 m²		 N 77.473179°
E 42.198487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.617202758789062 y=0.148330688476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.617202758789062 × 215)
    floor (0.617202758789062 × 32768)
    floor (20224.5)     		tx = 20224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148330688476562 × 215)
    floor (0.148330688476562 × 32768)
    floor (4860.5)     		ty = 4860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20224 / 4860 ti = "15/20224/4860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20224/4860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20224 ÷ 215
    20224 ÷ 32768     		x = 0.6171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4860 ÷ 215
    4860 ÷ 32768     		y = 0.1483154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6171875 × 2 - 1) × π
    0.234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.73631078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1483154296875 × 2 - 1) × π
    0.703369140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20969932488611
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73631078} λ = 0.73631078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20969932488611))-π/2
    2×atan(9.11297593598989)-π/2
    2×1.46149998545261-π/2
    2.92299997090521-1.57079632675     		φ = 1.35220364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73631078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35220364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.475562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20224 KachelY 4860 0.73631078 1.35220364 42.187500 77.475562
    Oben rechts KachelX + 1 20225 KachelY 4860 0.73650253 1.35220364 42.198487 77.475562
    Unten links KachelX 20224 KachelY + 1 4861 0.73631078 1.35216206 42.187500 77.473179
    Unten rechts KachelX + 1 20225 KachelY + 1 4861 0.73650253 1.35216206 42.198487 77.473179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35220364-1.35216206) × R
    4.15799999999855e-05 × 6371000     		dl = 264.906179999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35220364-1.35216206) × R
    4.15799999999855e-05 × 6371000     		dr = 264.906179999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73631078-0.73650253) × cos(1.35220364) × R
    0.000191749999999935 × 0.216856014061769 × 6371000     		do = 264.919818376319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73631078-0.73650253) × cos(1.35216206) × R
    0.000191749999999935 × 0.216896604419995 × 6371000     		du = 264.9694051511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35220364)-sin(1.35216206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216856014061769-0.216896604419995)×R²
    abs(0.73650253-0.73631078)×4.05903582264e-05×R²
    0.000191749999999935×4.05903582264e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.05903582264e-05×40589641000000     		ar = 70185.4650238069m²