Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20222 / 4859
↖ ↑ ↗
← N 77.477944°
E 42.165527°		 ← 264.87 m → N 77.477944°
E 42.176514°		 →
↑
264.91 m
↓
↑
264.91 m
↓
N 77.475562°
E 42.165527°		 ← 264.92 m →
70 172 m²		 N 77.475562°
E 42.176514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.617141723632812 y=0.148300170898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.617141723632812 × 215)
    floor (0.617141723632812 × 32768)
    floor (20222.5)     		tx = 20222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148300170898438 × 215)
    floor (0.148300170898438 × 32768)
    floor (4859.5)     		ty = 4859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20222 / 4859 ti = "15/20222/4859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20222/4859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20222 ÷ 215
    20222 ÷ 32768     		x = 0.61712646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4859 ÷ 215
    4859 ÷ 32768     		y = 0.148284912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61712646484375 × 2 - 1) × π
    0.2342529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.73592728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148284912109375 × 2 - 1) × π
    0.70343017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20989107248459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73592728} λ = 0.73592728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20989107248459))-π/2
    2×atan(9.11472349478037)-π/2
    2×1.46152077431643-π/2
    2.92304154863286-1.57079632675     		φ = 1.35224522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73592728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.165527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35224522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.477944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20222 KachelY 4859 0.73592728 1.35224522 42.165527 77.477944
    Oben rechts KachelX + 1 20223 KachelY 4859 0.73611903 1.35224522 42.176514 77.477944
    Unten links KachelX 20222 KachelY + 1 4860 0.73592728 1.35220364 42.165527 77.475562
    Unten rechts KachelX + 1 20223 KachelY + 1 4860 0.73611903 1.35220364 42.176514 77.475562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35224522-1.35220364) × R
    4.15799999999855e-05 × 6371000     		dl = 264.906179999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35224522-1.35220364) × R
    4.15799999999855e-05 × 6371000     		dr = 264.906179999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73592728-0.73611903) × cos(1.35224522) × R
    0.000191750000000046 × 0.216815423328621 × 6371000     		do = 264.870231143673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73592728-0.73611903) × cos(1.35220364) × R
    0.000191750000000046 × 0.216856014061769 × 6371000     		du = 264.919818376473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35224522)-sin(1.35220364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216815423328621-0.216856014061769)×R²
    abs(0.73611903-0.73592728)×4.05907331479938e-05×R²
    0.000191750000000046×4.05907331479938e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.05907331479938e-05×40589641000000     		ar = 70172.3291206008m²