Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20222 / 4842
↖ ↑ ↗
← N 77.518374°
E 42.165527°		 ← 264.03 m → N 77.518374°
E 42.176514°		 →
↑
264.01 m
↓
↑
264.01 m
↓
N 77.515999°
E 42.165527°		 ← 264.08 m →
69 714 m²		 N 77.515999°
E 42.176514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.617141723632812 y=0.147781372070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.617141723632812 × 215)
    floor (0.617141723632812 × 32768)
    floor (20222.5)     		tx = 20222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147781372070312 × 215)
    floor (0.147781372070312 × 32768)
    floor (4842.5)     		ty = 4842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20222 / 4842 ti = "15/20222/4842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20222/4842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20222 ÷ 215
    20222 ÷ 32768     		x = 0.61712646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4842 ÷ 215
    4842 ÷ 32768     		y = 0.14776611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61712646484375 × 2 - 1) × π
    0.2342529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.73592728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14776611328125 × 2 - 1) × π
    0.7044677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21315078165875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73592728} λ = 0.73592728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21315078165875))-π/2
    2×atan(9.144483320413)-π/2
    2×1.46187359023871-π/2
    2.92374718047743-1.57079632675     		φ = 1.35295085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73592728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.165527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35295085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.518374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20222 KachelY 4842 0.73592728 1.35295085 42.165527 77.518374
    Oben rechts KachelX + 1 20223 KachelY 4842 0.73611903 1.35295085 42.176514 77.518374
    Unten links KachelX 20222 KachelY + 1 4843 0.73592728 1.35290941 42.165527 77.515999
    Unten rechts KachelX + 1 20223 KachelY + 1 4843 0.73611903 1.35290941 42.176514 77.515999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35295085-1.35290941) × R
    4.14399999999482e-05 × 6371000     		dl = 264.01423999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35295085-1.35290941) × R
    4.14399999999482e-05 × 6371000     		dr = 264.01423999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73592728-0.73611903) × cos(1.35295085) × R
    0.000191750000000046 × 0.216126524499669 × 6371000     		do = 264.028645294946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73592728-0.73611903) × cos(1.35290941) × R
    0.000191750000000046 × 0.216166984894797 × 6371000     		du = 264.078073301704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35295085)-sin(1.35290941))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216126524499669-0.216166984894797)×R²
    abs(0.73611903-0.73592728)×4.04603951278115e-05×R²
    0.000191750000000046×4.04603951278115e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.04603951278115e-05×40589641000000     		ar = 69713.846983745m²