Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20214 / 4886
↖ ↑ ↗
← N 77.413467°
E 42.077637°		 ← 266.21 m → N 77.413467°
E 42.088623°		 →
↑
266.24 m
↓
↑
266.24 m
↓
N 77.411073°
E 42.077637°		 ← 266.26 m →
70 884 m²		 N 77.411073°
E 42.088623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616897583007812 y=0.149124145507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616897583007812 × 215)
    floor (0.616897583007812 × 32768)
    floor (20214.5)     		tx = 20214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149124145507812 × 215)
    floor (0.149124145507812 × 32768)
    floor (4886.5)     		ty = 4886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20214 / 4886 ti = "15/20214/4886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20214/4886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20214 ÷ 215
    20214 ÷ 32768     		x = 0.61688232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4886 ÷ 215
    4886 ÷ 32768     		y = 0.14910888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61688232421875 × 2 - 1) × π
    0.2337646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.73439330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14910888671875 × 2 - 1) × π
    0.7017822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20471388732562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73439330} λ = 0.73439330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20471388732562))-π/2
    2×atan(9.06765682513515)-π/2
    2×1.46095810697134-π/2
    2.92191621394268-1.57079632675     		φ = 1.35111989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73439330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.077637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35111989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.413467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20214 KachelY 4886 0.73439330 1.35111989 42.077637 77.413467
    Oben rechts KachelX + 1 20215 KachelY 4886 0.73458505 1.35111989 42.088623 77.413467
    Unten links KachelX 20214 KachelY + 1 4887 0.73439330 1.35107810 42.077637 77.411073
    Unten rechts KachelX + 1 20215 KachelY + 1 4887 0.73458505 1.35107810 42.088623 77.411073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35111989-1.35107810) × R
    4.17900000000415e-05 × 6371000     		dl = 266.244090000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35111989-1.35107810) × R
    4.17900000000415e-05 × 6371000     		dr = 266.244090000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73439330-0.73458505) × cos(1.35111989) × R
    0.000191749999999935 × 0.217913847156248 × 6371000     		do = 266.212108804484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73439330-0.73458505) × cos(1.35107810) × R
    0.000191749999999935 × 0.217954632669063 × 6371000     		du = 266.26193398777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35111989)-sin(1.35107810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217913847156248-0.217954632669063)×R²
    abs(0.73458505-0.73439330)×4.07855128148615e-05×R²
    0.000191749999999935×4.07855128148615e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.07855128148615e-05×40589641000000     		ar = 70884.0334965486m²