Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20214 / 4882
↖ ↑ ↗
← N 77.423040°
E 42.077637°		 ← 266.01 m → N 77.423040°
E 42.088623°		 →
↑
265.99 m
↓
↑
265.99 m
↓
N 77.420648°
E 42.077637°		 ← 266.06 m →
70 763 m²		 N 77.420648°
E 42.088623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616897583007812 y=0.149002075195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616897583007812 × 215)
    floor (0.616897583007812 × 32768)
    floor (20214.5)     		tx = 20214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149002075195312 × 215)
    floor (0.149002075195312 × 32768)
    floor (4882.5)     		ty = 4882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20214 / 4882 ti = "15/20214/4882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20214/4882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20214 ÷ 215
    20214 ÷ 32768     		x = 0.61688232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4882 ÷ 215
    4882 ÷ 32768     		y = 0.14898681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61688232421875 × 2 - 1) × π
    0.2337646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.73439330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14898681640625 × 2 - 1) × π
    0.7020263671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.20548087771954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73439330} λ = 0.73439330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20548087771954))-π/2
    2×atan(9.07461429863199)-π/2
    2×1.46104164461546-π/2
    2.92208328923092-1.57079632675     		φ = 1.35128696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73439330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.077637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35128696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.423040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20214 KachelY 4882 0.73439330 1.35128696 42.077637 77.423040
    Oben rechts KachelX + 1 20215 KachelY 4882 0.73458505 1.35128696 42.088623 77.423040
    Unten links KachelX 20214 KachelY + 1 4883 0.73439330 1.35124521 42.077637 77.420648
    Unten rechts KachelX + 1 20215 KachelY + 1 4883 0.73458505 1.35124521 42.088623 77.420648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35128696-1.35124521) × R
    4.17499999998405e-05 × 6371000     		dl = 265.989249998984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35128696-1.35124521) × R
    4.17499999998405e-05 × 6371000     		dr = 265.989249998984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73439330-0.73458505) × cos(1.35128696) × R
    0.000191749999999935 × 0.217750789140442 × 6371000     		do = 266.012910732348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73439330-0.73458505) × cos(1.35124521) × R
    0.000191749999999935 × 0.217791537134461 × 6371000     		du = 266.0626900812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35128696)-sin(1.35124521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217750789140442-0.217791537134461)×R²
    abs(0.73458505-0.73439330)×4.07479940185418e-05×R²
    0.000191749999999935×4.07479940185418e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.07479940185418e-05×40589641000000     		ar = 70763.1950116274m²