Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20213 / 4887
↖ ↑ ↗
← N 77.411073°
E 42.066650°		 ← 266.26 m → N 77.411073°
E 42.077637°		 →
↑
266.31 m
↓
↑
266.31 m
↓
N 77.408678°
E 42.066650°		 ← 266.31 m →
70 914 m²		 N 77.408678°
E 42.077637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616867065429688 y=0.149154663085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616867065429688 × 215)
    floor (0.616867065429688 × 32768)
    floor (20213.5)     		tx = 20213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149154663085938 × 215)
    floor (0.149154663085938 × 32768)
    floor (4887.5)     		ty = 4887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20213 / 4887 ti = "15/20213/4887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20213/4887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20213 ÷ 215
    20213 ÷ 32768     		x = 0.616851806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4887 ÷ 215
    4887 ÷ 32768     		y = 0.149139404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616851806640625 × 2 - 1) × π
    0.23370361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.73420155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149139404296875 × 2 - 1) × π
    0.70172119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20452213972714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73420155} λ = 0.73420155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20452213972714))-π/2
    2×atan(9.06591829040034)-π/2
    2×1.46093721278764-π/2
    2.92187442557528-1.57079632675     		φ = 1.35107810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73420155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.066650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35107810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.411073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20213 KachelY 4887 0.73420155 1.35107810 42.066650 77.411073
    Oben rechts KachelX + 1 20214 KachelY 4887 0.73439330 1.35107810 42.077637 77.411073
    Unten links KachelX 20213 KachelY + 1 4888 0.73420155 1.35103630 42.066650 77.408678
    Unten rechts KachelX + 1 20214 KachelY + 1 4888 0.73439330 1.35103630 42.077637 77.408678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35107810-1.35103630) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dl = 266.307799999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35107810-1.35103630) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dr = 266.307799999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73420155-0.73439330) × cos(1.35107810) × R
    0.000191750000000046 × 0.217954632669063 × 6371000     		do = 266.261933987924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73420155-0.73439330) × cos(1.35103630) × R
    0.000191750000000046 × 0.217995427560739 × 6371000     		du = 266.311770628795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35107810)-sin(1.35103630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217954632669063-0.217995427560739)×R²
    abs(0.73439330-0.73420155)×4.07948916758549e-05×R²
    0.000191750000000046×4.07948916758549e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.07948916758549e-05×40589641000000     		ar = 70914.2658175601m²