Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20212 / 4852
↖ ↑ ↗
← N 77.494607°
E 42.055664°		 ← 264.51 m → N 77.494607°
E 42.066650°		 →
↑
264.59 m
↓
↑
264.59 m
↓
N 77.492228°
E 42.055664°		 ← 264.56 m →
69 993 m²		 N 77.492228°
E 42.066650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616836547851562 y=0.148086547851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616836547851562 × 215)
    floor (0.616836547851562 × 32768)
    floor (20212.5)     		tx = 20212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148086547851562 × 215)
    floor (0.148086547851562 × 32768)
    floor (4852.5)     		ty = 4852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20212 / 4852 ti = "15/20212/4852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20212/4852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20212 ÷ 215
    20212 ÷ 32768     		x = 0.6168212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4852 ÷ 215
    4852 ÷ 32768     		y = 0.1480712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6168212890625 × 2 - 1) × π
    0.233642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.73400981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1480712890625 × 2 - 1) × π
    0.703857421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21123330567395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73400981} λ = 0.73400981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21123330567395))-π/2
    2×atan(9.12696579333867)-π/2
    2×1.46166618745317-π/2
    2.92333237490634-1.57079632675     		φ = 1.35253605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73400981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.055664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35253605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.494607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20212 KachelY 4852 0.73400981 1.35253605 42.055664 77.494607
    Oben rechts KachelX + 1 20213 KachelY 4852 0.73420155 1.35253605 42.066650 77.494607
    Unten links KachelX 20212 KachelY + 1 4853 0.73400981 1.35249452 42.055664 77.492228
    Unten rechts KachelX + 1 20213 KachelY + 1 4853 0.73420155 1.35249452 42.066650 77.492228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35253605-1.35249452) × R
    4.15300000000673e-05 × 6371000     		dl = 264.587630000429m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35253605-1.35249452) × R
    4.15300000000673e-05 × 6371000     		dr = 264.587630000429m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73400981-0.73420155) × cos(1.35253605) × R
    0.000191739999999996 × 0.216531502248076 × 6371000     		do = 264.509586785699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73400981-0.73420155) × cos(1.35249452) × R
    0.000191739999999996 × 0.216572046788308 × 6371000     		du = 264.559115004327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35253605)-sin(1.35249452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216531502248076-0.216572046788308)×R²
    abs(0.73420155-0.73400981)×4.05445402315296e-05×R²
    0.000191739999999996×4.05445402315296e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.05445402315296e-05×40589641000000     		ar = 69992.5169675577m²