Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20207 / 4871
↖ ↑ ↗
← N 77.449328°
E 42.000732°		 ← 265.47 m → N 77.449328°
E 42.011719°		 →
↑
265.54 m
↓
↑
265.54 m
↓
N 77.446940°
E 42.000732°		 ← 265.52 m →
70 499 m²		 N 77.446940°
E 42.011719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616683959960938 y=0.148666381835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616683959960938 × 215)
    floor (0.616683959960938 × 32768)
    floor (20207.5)     		tx = 20207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148666381835938 × 215)
    floor (0.148666381835938 × 32768)
    floor (4871.5)     		ty = 4871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20207 / 4871 ti = "15/20207/4871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20207/4871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20207 ÷ 215
    20207 ÷ 32768     		x = 0.616668701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4871 ÷ 215
    4871 ÷ 32768     		y = 0.148651123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616668701171875 × 2 - 1) × π
    0.23333740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.73305107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148651123046875 × 2 - 1) × π
    0.70269775390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20759010130283
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73305107} λ = 0.73305107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20759010130283))-π/2
    2×atan(9.09377488900089)-π/2
    2×1.46127105094449-π/2
    2.92254210188898-1.57079632675     		φ = 1.35174578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73305107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.000732°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35174578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.449328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20207 KachelY 4871 0.73305107 1.35174578 42.000732 77.449328
    Oben rechts KachelX + 1 20208 KachelY 4871 0.73324282 1.35174578 42.011719 77.449328
    Unten links KachelX 20207 KachelY + 1 4872 0.73305107 1.35170410 42.000732 77.446940
    Unten rechts KachelX + 1 20208 KachelY + 1 4872 0.73324282 1.35170410 42.011719 77.446940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35174578-1.35170410) × R
    4.16799999998219e-05 × 6371000     		dl = 265.543279998865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35174578-1.35170410) × R
    4.16799999998219e-05 × 6371000     		dr = 265.543279998865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73305107-0.73324282) × cos(1.35174578) × R
    0.000191749999999935 × 0.217302955896179 × 6371000     		do = 265.465820063701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73305107-0.73324282) × cos(1.35170410) × R
    0.000191749999999935 × 0.217343639730815 × 6371000     		du = 265.515521032933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35174578)-sin(1.35170410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217302955896179-0.217343639730815)×R²
    abs(0.73324282-0.73305107)×4.06838346360405e-05×R²
    0.000191749999999935×4.06838346360405e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.06838346360405e-05×40589641000000     		ar = 70499.2634766524m²