Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20204 / 4870
↖ ↑ ↗
← N 77.451715°
E 41.967774°		 ← 265.40 m → N 77.451715°
E 41.978760°		 →
↑
265.42 m
↓
↑
265.42 m
↓
N 77.449328°
E 41.967774°		 ← 265.45 m →
70 449 m²		 N 77.449328°
E 41.978760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616592407226562 y=0.148635864257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616592407226562 × 215)
    floor (0.616592407226562 × 32768)
    floor (20204.5)     		tx = 20204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148635864257812 × 215)
    floor (0.148635864257812 × 32768)
    floor (4870.5)     		ty = 4870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20204 / 4870 ti = "15/20204/4870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20204/4870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20204 ÷ 215
    20204 ÷ 32768     		x = 0.6165771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4870 ÷ 215
    4870 ÷ 32768     		y = 0.14862060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6165771484375 × 2 - 1) × π
    0.233154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.73247583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14862060546875 × 2 - 1) × π
    0.7027587890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20778184890131
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73247583} λ = 0.73247583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20778184890131))-π/2
    2×atan(9.09551876568371)-π/2
    2×1.46129188265536-π/2
    2.92258376531072-1.57079632675     		φ = 1.35178744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73247583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.967774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35178744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.451715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20204 KachelY 4870 0.73247583 1.35178744 41.967774 77.451715
    Oben rechts KachelX + 1 20205 KachelY 4870 0.73266757 1.35178744 41.978760 77.451715
    Unten links KachelX 20204 KachelY + 1 4871 0.73247583 1.35174578 41.967774 77.449328
    Unten rechts KachelX + 1 20205 KachelY + 1 4871 0.73266757 1.35174578 41.978760 77.449328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35178744-1.35174578) × R
    4.16600000001655e-05 × 6371000     		dl = 265.415860001054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35178744-1.35174578) × R
    4.16600000001655e-05 × 6371000     		dr = 265.415860001054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73247583-0.73266757) × cos(1.35178744) × R
    0.000191739999999996 × 0.217262291206304 × 6371000     		do = 265.402300701973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73247583-0.73266757) × cos(1.35174578) × R
    0.000191739999999996 × 0.217302955896179 × 6371000     		du = 265.451975692465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35178744)-sin(1.35174578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217262291206304-0.217302955896179)×R²
    abs(0.73266757-0.73247583)×4.0664689874681e-05×R²
    0.000191739999999996×4.0664689874681e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.0664689874681e-05×40589641000000     		ar = 70448.5721625626m²