Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20204 / 4868
↖ ↑ ↗
← N 77.456488°
E 41.967774°		 ← 265.30 m → N 77.456488°
E 41.978760°		 →
↑
265.35 m
↓
↑
265.35 m
↓
N 77.454101°
E 41.967774°		 ← 265.35 m →
70 405 m²		 N 77.454101°
E 41.978760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616592407226562 y=0.148574829101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616592407226562 × 215)
    floor (0.616592407226562 × 32768)
    floor (20204.5)     		tx = 20204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148574829101562 × 215)
    floor (0.148574829101562 × 32768)
    floor (4868.5)     		ty = 4868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20204 / 4868 ti = "15/20204/4868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20204/4868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20204 ÷ 215
    20204 ÷ 32768     		x = 0.6165771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4868 ÷ 215
    4868 ÷ 32768     		y = 0.1485595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6165771484375 × 2 - 1) × π
    0.233154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.73247583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1485595703125 × 2 - 1) × π
    0.702880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.20816534409827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73247583} λ = 0.73247583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20816534409827))-π/2
    2×atan(9.09900752236217)-π/2
    2×1.46133353438184-π/2
    2.92266706876367-1.57079632675     		φ = 1.35187074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73247583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.967774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35187074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.456488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20204 KachelY 4868 0.73247583 1.35187074 41.967774 77.456488
    Oben rechts KachelX + 1 20205 KachelY 4868 0.73266757 1.35187074 41.978760 77.456488
    Unten links KachelX 20204 KachelY + 1 4869 0.73247583 1.35182909 41.967774 77.454101
    Unten rechts KachelX + 1 20205 KachelY + 1 4869 0.73266757 1.35182909 41.978760 77.454101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35187074-1.35182909) × R
    4.16500000000042e-05 × 6371000     		dl = 265.352150000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35187074-1.35182909) × R
    4.16500000000042e-05 × 6371000     		dr = 265.352150000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73247583-0.73266757) × cos(1.35187074) × R
    0.000191739999999996 × 0.217180980218041 × 6371000     		do = 265.302973187577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73247583-0.73266757) × cos(1.35182909) × R
    0.000191739999999996 × 0.217221635900582 × 6371000     		du = 265.352637174931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35187074)-sin(1.35182909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217180980218041-0.217221635900582)×R²
    abs(0.73266757-0.73247583)×4.06556825414683e-05×R²
    0.000191739999999996×4.06556825414683e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.06556825414683e-05×40589641000000     		ar = 70405.303569687m²