Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20202 / 4874
↖ ↑ ↗
← N 77.442164°
E 41.945801°		 ← 265.61 m → N 77.442164°
E 41.956787°		 →
↑
265.67 m
↓
↑
265.67 m
↓
N 77.439775°
E 41.945801°		 ← 265.66 m →
70 573 m²		 N 77.439775°
E 41.956787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616531372070312 y=0.148757934570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616531372070312 × 215)
    floor (0.616531372070312 × 32768)
    floor (20202.5)     		tx = 20202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148757934570312 × 215)
    floor (0.148757934570312 × 32768)
    floor (4874.5)     		ty = 4874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20202 / 4874 ti = "15/20202/4874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20202/4874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20202 ÷ 215
    20202 ÷ 32768     		x = 0.61651611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4874 ÷ 215
    4874 ÷ 32768     		y = 0.14874267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61651611328125 × 2 - 1) × π
    0.2330322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.73209233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14874267578125 × 2 - 1) × π
    0.7025146484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.20701485850739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73209233} λ = 0.73209233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20701485850739))-π/2
    2×atan(9.08854526480866)-π/2
    2×1.46120853241303-π/2
    2.92241706482606-1.57079632675     		φ = 1.35162074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73209233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.945801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35162074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.442164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20202 KachelY 4874 0.73209233 1.35162074 41.945801 77.442164
    Oben rechts KachelX + 1 20203 KachelY 4874 0.73228408 1.35162074 41.956787 77.442164
    Unten links KachelX 20202 KachelY + 1 4875 0.73209233 1.35157904 41.945801 77.439775
    Unten rechts KachelX + 1 20203 KachelY + 1 4875 0.73228408 1.35157904 41.956787 77.439775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35162074-1.35157904) × R
    4.16999999999224e-05 × 6371000     		dl = 265.670699999505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35162074-1.35157904) × R
    4.16999999999224e-05 × 6371000     		dr = 265.670699999505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73209233-0.73228408) × cos(1.35162074) × R
    0.000191750000000046 × 0.217425006267294 × 6371000     		do = 265.614921587686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73209233-0.73228408) × cos(1.35157904) × R
    0.000191750000000046 × 0.217465708490355 × 6371000     		du = 265.66464502094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35162074)-sin(1.35157904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217425006267294-0.217465708490355)×R²
    abs(0.73228408-0.73209233)×4.07022230606569e-05×R²
    0.000191750000000046×4.07022230606569e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.07022230606569e-05×40589641000000     		ar = 70572.7071880197m²